Добрый день! Рассмотрим данное множество M = Q, где Q - множество всех рациональных чисел, и операцию * такую, что a * b = 5ab, где a и b являются рациональными числами.
Для того, чтобы множество M с операцией * было группой, необходимо, чтобы выполнялись определенные свойства группы: замкнутость, ассоциативность, существование нейтрального элемента и существование обратного элемента.
1. Замкнутость:
Для того, чтобы операция * была замкнута на множестве M, результат её применения к произвольным элементам множества M должен также быть элементом множества M.
Рассмотрим a, b ∈ Q. Применим операцию * к этим числам: a * b = 5ab. Результатом является число 5ab, которое также является рациональным числом, т.к. произведение рациональных чисел также является рациональным числом. Таким образом, операция * замкнута на множестве M.
2. Ассоциативность:
Для того, чтобы операция * была ассоциативной на множестве M, результат её применения должен быть одинаковым, независимо от порядка применения операции.
Рассмотрим a, b, c ∈ Q. Применим операцию * дважды (a * b) * c и a * (b * c) и сравним результаты:
(a * b) * c = (5ab) * c = 5(5ab)c = 25abc
a * (b * c) = a * (5bc) = 5a(5bc) = 25abc
Как видно, результат применения операции * дважды одинаков для обоих случаев, поэтому операция * ассоциативна на множестве M.
3. Существование нейтрального элемента:
Нейтральным элементом в группе является такой элемент, при применении операции к нему и любому другому элементу результатом будет сам другой элемент.
Рассмотрим произвольное число a ∈ Q. Найдем такой элемент e ∈ Q, при котором выполняется условие a * e = a.
a * e = 5ae
Для того, чтобы это условие выполнялось для любого a, необходимо, чтобы 5ae = a. Разделим обе части уравнения на 5a:
5ae / 5a = a / 5a
e = 1 / 5
Таким образом, нейтральным элементом в данной группе является число 1 / 5.
4. Существование обратного элемента:
Обратным элементом для произвольного числа a ∈ Q в группе является такой элемент a^-1, при котором выполняется условие a * a^-1 = e, где e - нейтральный элемент.
Рассмотрим произвольное число a ∈ Q. Найдем такой элемент a^-1 ∈ Q, при котором выполняется условие a * a^-1 = 1 / 5.
a * a^-1 = 5aa^-1
Для того, чтобы это условие выполнялось для любого a, необходимо, чтобы 5aa^-1 = 1 / 5. Разделим обе части уравнения на 5a:
5aa^-1 / 5a = (1 / 5) / 5a
а^-1 = (1 / 5) / 5a
Таким образом, обратным элементом для произвольного числа a ∈ Q является число (1 / 5) / (5a).
Таким образом, множество M с операцией * является группой, так как выполняются все четыре свойства группы: замкнутость, ассоциативность, существование нейтрального элемента и существование обратного элемента.
Операция * не является коммутативной, так как при смене порядка элементов множества результат применения операции * меняется:
a * b = 5ab, b * a = 5ba
Так как 5ab не равно 5ba, операция * не является коммутативной.
Надеюсь, данный ответ был понятен для школьника и помог разобраться в данном вопросе. Если возникают еще вопросы, буду рад помочь!
