Для начала, давайте вспомним, что такое полная поверхность цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Первым шагом нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого нам понадобится знать длину образующей и угол, который она образует с осью цилиндра.
В данной задаче известно, что длина диагонали осевого сечения равна 10√2 см, а эта диагональ составляет угол 45° с образующей.
Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти высоту цилиндра. Для этого нам нужно найти длину образующей основания прямоугольного треугольника.
Длина образующей можно найти с помощью теоремы Пифагора: a² + b² = c², где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.
В нашем случае, катеты a и b равны длине образующей и высоте цилиндра (h). Гипотенуза c равна длине диагонали осевого сечения.
Таким образом, получаем: образующая² + h² = (10√2)².
Обращаемся к тригонометрии. Косинус угла равен отношению катета прилежащего к гипотенузе и гипотенузе. В нашей задаче этот катет и есть высота цилиндра.
cos(45°) = h / длина диагонали осевого сечения = h / (10√2).
Подставляем значение косинуса 45°: √2/2 = h / (10√2).
Приводим подобные:
2h = 10√2 * (√2 / 2).
Упрощаем:
2h = 5 * 2.
h = 5.
Итак, мы нашли высоту цилиндра - она равна 5 см.
Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно найти площадь его двух оснований и боковой поверхности.
Площадь основания цилиндра равна площади круга, которая вычисляется по формуле S = πr², где r - радиус основания цилиндра.
В данной задаче радиуса нам не дано, но мы можем рассчитать его, зная длину образующей и высоту цилиндра.
Мы можем использовать теорему Пифагора, как в предыдущем шаге, чтобы найти радиус основания. В этом случае гипотенузой будет являться образующая цилиндра, а катетами - радиус и высота цилиндра.
Таким образом, получаем: радиус² + 5² = (10√2)².
Получаем: радиус² + 25 = 200.
Радиус² = 200 - 25 = 175.
Теперь найдем площадь основания цилиндра:
S₁ = π * радиус².
S₁ = π * 175.
Далее найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а стороны прямоугольника равны периметру основания цилиндра.
Периметр основания цилиндра вычисляется по формуле P = 2πr.
Таким образом, площадь боковой поверхности равна S₂ = P * h = 2πr * h.
Заменяем значения: S₂ = 2π * радиус * 5.
Теперь мы можем найти полную площадь поверхности цилиндра:
S = 2S₁ + S₂.
S = 2 * (π * 175) + (2 * π * радиус * 5).
S = 2π * 175 + 10π * радиус.
Итак, получаем площадь полной поверхности цилиндра, используя найденные значения радиуса и высоты цилиндра, а также значение числа π.
Для начала, давайте вспомним, что такое полная поверхность цилиндра. Полная поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Первым шагом нам нужно найти высоту цилиндра. Для этого нам понадобится знать длину образующей и угол, который она образует с осью цилиндра.
В данной задаче известно, что длина диагонали осевого сечения равна 10√2 см, а эта диагональ составляет угол 45° с образующей.
Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти высоту цилиндра. Для этого нам нужно найти длину образующей основания прямоугольного треугольника.
Длина образующей можно найти с помощью теоремы Пифагора: a² + b² = c², где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза.
В нашем случае, катеты a и b равны длине образующей и высоте цилиндра (h). Гипотенуза c равна длине диагонали осевого сечения.
Таким образом, получаем: образующая² + h² = (10√2)².
Обращаемся к тригонометрии. Косинус угла равен отношению катета прилежащего к гипотенузе и гипотенузе. В нашей задаче этот катет и есть высота цилиндра.
cos(45°) = h / длина диагонали осевого сечения = h / (10√2).
Подставляем значение косинуса 45°: √2/2 = h / (10√2).
Приводим подобные:
2h = 10√2 * (√2 / 2).
Упрощаем:
2h = 5 * 2.
h = 5.
Итак, мы нашли высоту цилиндра - она равна 5 см.
Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно найти площадь его двух оснований и боковой поверхности.
Площадь основания цилиндра равна площади круга, которая вычисляется по формуле S = πr², где r - радиус основания цилиндра.
В данной задаче радиуса нам не дано, но мы можем рассчитать его, зная длину образующей и высоту цилиндра.
Мы можем использовать теорему Пифагора, как в предыдущем шаге, чтобы найти радиус основания. В этом случае гипотенузой будет являться образующая цилиндра, а катетами - радиус и высота цилиндра.
Таким образом, получаем: радиус² + 5² = (10√2)².
Получаем: радиус² + 25 = 200.
Радиус² = 200 - 25 = 175.
Теперь найдем площадь основания цилиндра:
S₁ = π * радиус².
S₁ = π * 175.
Далее найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Боковая поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра, а стороны прямоугольника равны периметру основания цилиндра.
Периметр основания цилиндра вычисляется по формуле P = 2πr.
Таким образом, площадь боковой поверхности равна S₂ = P * h = 2πr * h.
Заменяем значения: S₂ = 2π * радиус * 5.
Теперь мы можем найти полную площадь поверхности цилиндра:
S = 2S₁ + S₂.
S = 2 * (π * 175) + (2 * π * радиус * 5).
S = 2π * 175 + 10π * радиус.
Итак, получаем площадь полной поверхности цилиндра, используя найденные значения радиуса и высоты цилиндра, а также значение числа π.