Question

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений

Answer 1

Разложим определитель по последней строке:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1&1\\a_1&0&0&\ldots&0&0\\0&a_2&0&\ldots&0&0\\\hdotsfor{6}\\0&0&0&\ldots&0&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\end{vmatrix}+a_nD_{n-1},$

а получившийся определитель - по последнему столбцу:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot(-1)^{n+1}\cdot\begin{vmatrix}a_1&0&0&\ldots&0\\0&a_2&0&\ldots&0\\ \hdotsfor{5}\\0&0&0&\ldots&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}\end{vmatrix}+a_nD_{n-1}=$

$= -a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{n-1}+a_nD_{n-1}.$

Поскольку $D_1=-1;\ D_2=-a_1-a_2,$ а по рекуррентному соотношению

$D_3=-a_1\cdot a_2+a_3D_2=-a_2\cdot a_3-a_1\cdot a_3-a_1\cdot a_2,$  естественно выдвинуть гипотезу, что      $D_n= -a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n-\sum\limits_{i=2}^{n-1}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots \cdot a_n-a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_{n-1}.$

Докажем ее. Для n=2 и n=3 гипотеза верна. Пусть она верна при некотором n=k>1, тогда

$D_{k+1}=-a_1\cdot a_2 \cdot \ldots\cdot a_{k}+a_{k+1}(-a_2\cdot a_3\cdot \ldots a_k-\sum\limits_{i=2}^{k-1}a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot\ldots\cdot a_k - a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{k-1})=$  

$=-a_2\cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{k+1}-\sum\limits_{i=2}^{k}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots\cdot a_{k+1}-a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k.$

Гипотеза доказана.

Кстати, если все числа $a_i,\ i=1;\ 2,\ \ldots, n$   не равны нулю, ответ можно записать в виде

                             $D_n=-\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots \cdot a_n}{a_i}.$