Question

Вычислить криволинейный интеграл: $x^{3} dx +2xydy$ от точки А(0;0) до точки В(1;1) по линии $\sqrt[4]{x}$

Answer 1

Вычисляем криволинейный интеграл 2 рода , заменяя  у  и  dy  выражениями через переменную  х .

$\displaystyle L:\ y=\sqrt[4]{x}\ \ ,\ \ dy=\dfrac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}\, dx=\dfrac{dx}{4\sqrt[4]{x^3}}\ \ ,\ \ \ A(0;0)\ ,\ B(1;1)int\limits_{L}\, y^3\, dx+2xy\, dy=\int\limits_0^1\, \sqrt[4]{x^3}\, dx+2x\sqrt[4]{x}\, \frac{dx}{4\sqrt[4]{x^3}}=\int\limits_0^1\, x^{\frac{3}{4}}\, dx+\int\limits_0^1\, \dfrac{1}{2}\, x^{\frac{1}{2}}\, dx==\frac{4x^{\frac{7}{4}}}{7}\, \Big|_0^1\ +\ \frac{1}{2}\cdot \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\, \Big|_0^1=\frac{4}{7}-\frac{1}{3}=\frac{12-7}{21}=\frac{5}{21}$