Для решения данных уравнений, нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и их значениях на разных углах. Я постараюсь разобрать каждый вопрос по отдельности, чтобы обеспечить максимальную понятность.
A) Уравнение sin(pi(2x+1)/4) = √2/2 (наибольший отрицательный корень).
Для начала, заметим, что √2/2 это значение синуса для угла pi/4. Теперь обратимся к тригонометрическим идентичностям, а именно, к формуле смещения, которая гласит: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). В нашем случае, a = pi/4, а b = pi(2x+1)/4. Подставим данные в формулу:
sin(pi/4 + pi(2x+1)/4) = sin(pi/4)cos(pi(2x+1)/4) + cos(pi/4)sin(pi(2x+1)/4).
Так как sin(pi/4) = cos(pi/4) = √2/2, мы можем упростить уравнение:
(sin(pi(2x+1)/4))(√2/2) + (cos(pi(2x+1)/4))(√2/2) = (√2/2)(√2/2).
Теперь заметим, что угол (pi(2x+1)/4) должен быть такой, чтобы sin(pi(2x+1)/4) было равно наибольшему отрицательному корню, то есть -√2/2. Поэтому:
(sin(pi(2x+1)/4))(√2/2) + (cos(pi(2x+1)/4))(√2/2) = -1/2.
Выразим sin(pi(2x+1)/4) и cos(pi(2x+1)/4):
sin(pi(2x+1)/4) = (-1/2)/(√2/2) - (cos(pi(2x+1)/4))(√2/2)/(√2/2).
sin(pi(2x+1)/4) = -1/√2 - (cos(pi(2x+1)/4))(√2/√2).
sin(pi(2x+1)/4) = -1/√2 - (cos(pi(2x+1)/4)).
Теперь обратимся к еще одной тригонометрической идентичности, а именно, sin^2(a) + cos^2(a) = 1. В нашем случае, a = pi(2x+1)/4. Подставим данные в формулу и подставим полученный результат:
(-1/√2)^2 + (cos(pi(2x+1)/4))^2 = 1.
1/2 + (cos(pi(2x+1)/4))^2 = 1.
(cos(pi(2x+1)/4))^2 = 1 - 1/2.
(cos(pi(2x+1)/4))^2 = 1/2.
cos(pi(2x+1)/4) = ±√(1/2).
Но так как мы ищем наибольший отрицательный корень, то нам нужно выбрать минусовый знак перед корнем:
cos(pi(2x+1)/4) = -√(1/2).
Теперь найдем значение угла (pi(2x+1)/4), для которого cos(pi(2x+1)/4) равно -√(1/2). По табличным значениям тригонометрической функции cos(x), мы видим, что значение -√(1/2) соответствует углу 5pi/4. Подставим это значение обратно в уравнение:
(pi(2x+1)/4) = 5pi/4.
2x+1 = 5.
2x = 4.
x = 2.
Ответ: x = 2.
B) Уравнение sin(pi(x-1)/3) = √3/2 (наименьший положительный корень).
Как и в предыдущем случае, мы знаем, что √3/2 это значение синуса для угла pi/3. Используя формулу смещения для синуса, sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b), мы можем записать:
sin(pi/3 + pi(x-1)/3) = sin(pi/3)cos(pi(x-1)/3) + cos(pi/3)sin(pi(x-1)/3).
После упрощения и замены sin(pi/3) и cos(pi/3) на их значения √3/2, получим:
(sin(pi(x-1)/3))(√3/2) + (cos(pi(x-1)/3))(√3/2) = (√3/2)(√3/2).
Теперь нужно найти значение угла (pi(x-1)/3), для которого sin(pi(x-1)/3) равно наименьшему положительному корню, то есть √3/2. По таблице значений sin(x), мы знаем, что √3/2 соответствует углу pi/3. Заменим полученное значение в уравнении:
(pi(x-1)/3) = pi/3.
x-1 = 1.
x = 2.
Ответ: x = 2.
Надеюсь, что мое объяснение было понятным и подробным. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
(-∞; 3] ∪ ( 4; 6) .
Пошаговое объяснение:
Нанесем на числовую прямую точки нули знаменателя: 4 и 6 и нули числителя
И определим знак и получим
х∈ (-∞; 3] ∪ ( 4; 6) .