Question

Окружность ω с центром в точке I касается прямой q в точке A. На прямой q отмечены точки B и C так, что точка B лежит между A и C. Из точек B и C к ω проведены касательные, отличные от q, которые пересекаются в точке D. Найдите величину угла CID, если угол ABD равен 46 градусам.

Answer 1

∠DIC = 67°

Пошаговое объяснение:

Надо найти ∠CID.

Дано: ω (I; IA);

q = касательная.

B ∈ q; C ∈ q;

BM; CK - касательные;

∠ABD = 46°

Найти: ∠CID

Для того, чтобы найти ∠CID необходимо сделать чертеж.

1. Рассмотрим ΔKDI  и ΔIDM.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ΔKDI  и ΔIDM - прямоугольные.

ID - общая;

Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны.

⇒ DK = DM

⇒ ΔKDI  = ΔIDM (по гипотенузе и катету)

⇒ ∠KID = ∠DIM (как соответственные элементы)

Пусть ∠KID = ∠DIM = α

2. ∠МВА = 46°

Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен 180° минус градусная мера заключенной внутри него дуги, меньшей полуокружности.

⇒ ∠МВА = 180° - ∪ АМ

Подставим значение ∠МВА = 46° и найдем ∪ АМ:

46° = 180° - ∪ АМ    или ∪ АМ = 180° - 46° = 134°

Центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠MIA = ∪ AM = 134° (центральный)

3. ∠KIA = ∠MIA +2α = 134° + 2α (см. рис.) (центральный)

⇒ ∪ KMA = ∠KIA = 134° +2α

4. Рассмотрим ΔCKI и ΔICA - прямоугольные (радиус ⊥ касательной)

IC - общая;

IK = IA (радиусы одной окружности)

⇒ ΔCKI = ΔICA (по гипотенузе и катету)

∠KIC = ∠CIA (как соответственные элементы.)

5. ∠KIC = ∠CIA = ∠KIA : 2 = ( 134° +2α) : 2 = 67° + α

∠CID = ∠KIC - α = 67° + α - α = 67°

Искомый угол найден ∠CID =67°.