Добрый день! Конечно, я помогу вам разобраться с этим вопросом.
Исследование функции средствами дифференциального исчисления включает в себя несколько этапов. Давайте начнем с первого этапа - нахождения производной функции.
Шаг 1: Найдем производную функции y=f(x).
Производная функции показывает, как быстро изменяется значение функции по отношению к изменению аргумента. Для нахождения производной функции y=f(x) вам понадобится знать правило дифференцирования для каждого слагаемого функции.
Правило дифференцирования для слагаемого вида ax^n, где a и n - константы, гласит: производная равна произведению коэффициента a на показатель степени n и на значение аргумента, уменьшенное на единицу.
Применительно к функции y=(2x^3)-(3x^2)-16, первое слагаемое 2x^3 имеет коэффициент a=2 и показатель степени n=3, второе слагаемое -3x^2 имеет коэффициент a=-3 и показатель степени n=2, а третье слагаемое -16 можно рассматривать как слагаемое a*x^0.
Применяя правило дифференцирования для каждого слагаемого, получим:
Таким образом, производная функции y=f(x) равна y'(x) = 6x^2 - 6x.
Шаг 2: Найдем точки экстремума функции.
Точки экстремума функции соответствуют значениям аргумента, при которых производная функции равна нулю. Другими словами, чтобы найти точки экстремума, решим уравнение 6x^2 - 6x = 0.
Вынесем общий множитель 6x и получим:
6x(x - 1) = 0.
Это уравнение будет верно, если один из множителей равен нулю. Решим два уравнения:
1) 6x = 0, откуда найдем x = 0.
2) x - 1 = 0, откуда найдем x = 1.
Таким образом, точки экстремума функции - это x = 0 и x = 1.
Шаг 3: Найдем значения функции в найденных точках экстремума.
Для этого подставим найденные значения аргумента в исходную функцию y=f(x).
При x = 0 получим:
y = (2*0^3) - (3*0^2) - 16 = -16.
При x = 1 получим:
y = (2*1^3) - (3*1^2) - 16 = 2 - 3 - 16 = -17.
Таким образом, значения функции в точках экстремума равны -16 и -17 соответственно.
Шаг 4: Найдем значения функции в других интересующих нас точках.
Для этого подставим различные значения аргумента в исходную функцию y=f(x).
Исследование функции средствами дифференциального исчисления включает в себя несколько этапов. Давайте начнем с первого этапа - нахождения производной функции.
Шаг 1: Найдем производную функции y=f(x).
Производная функции показывает, как быстро изменяется значение функции по отношению к изменению аргумента. Для нахождения производной функции y=f(x) вам понадобится знать правило дифференцирования для каждого слагаемого функции.
Правило дифференцирования для слагаемого вида ax^n, где a и n - константы, гласит: производная равна произведению коэффициента a на показатель степени n и на значение аргумента, уменьшенное на единицу.
Применительно к функции y=(2x^3)-(3x^2)-16, первое слагаемое 2x^3 имеет коэффициент a=2 и показатель степени n=3, второе слагаемое -3x^2 имеет коэффициент a=-3 и показатель степени n=2, а третье слагаемое -16 можно рассматривать как слагаемое a*x^0.
Применяя правило дифференцирования для каждого слагаемого, получим:
y'(x) = (2*3x^(3-1)) + (-3*2x^(2-1)) + (0*x^(0-1))
= 6x^2 - 6x + 0
= 6x^2 - 6x
Таким образом, производная функции y=f(x) равна y'(x) = 6x^2 - 6x.
Шаг 2: Найдем точки экстремума функции.
Точки экстремума функции соответствуют значениям аргумента, при которых производная функции равна нулю. Другими словами, чтобы найти точки экстремума, решим уравнение 6x^2 - 6x = 0.
Вынесем общий множитель 6x и получим:
6x(x - 1) = 0.
Это уравнение будет верно, если один из множителей равен нулю. Решим два уравнения:
1) 6x = 0, откуда найдем x = 0.
2) x - 1 = 0, откуда найдем x = 1.
Таким образом, точки экстремума функции - это x = 0 и x = 1.
Шаг 3: Найдем значения функции в найденных точках экстремума.
Для этого подставим найденные значения аргумента в исходную функцию y=f(x).
При x = 0 получим:
y = (2*0^3) - (3*0^2) - 16 = -16.
При x = 1 получим:
y = (2*1^3) - (3*1^2) - 16 = 2 - 3 - 16 = -17.
Таким образом, значения функции в точках экстремума равны -16 и -17 соответственно.
Шаг 4: Найдем значения функции в других интересующих нас точках.
Для этого подставим различные значения аргумента в исходную функцию y=f(x).
Например, при x = -1:
y = (2*(-1)^3) - (3*(-1)^2) - 16 = -2 - 3 - 16 = -21.
При x = 2:
y = (2*2^3) - (3*2^2) - 16 = 16 - 12 - 16 = -12.
И так далее.
Шаг 5: Построим график функции.
График функции можно построить с помощью полученных значений функции для различных значений аргумента.
Построим график на координатной плоскости, где горизонтальная ось будет соответствовать значению аргумента x, а вертикальная ось - значению функции y.
Начнем с точек экстремума. Пометим точку (0, -16) и точку (1, -17).
Затем, используя остальные найденные значения функции, проведем график функции между точками экстремума.
Таким образом, решив задачу, мы нашли производную функции, точки экстремума, значения функции в этих точках и построили график функции.
Надеюсь, я смог дать вам достаточно подробный и понятный ответ на ваш вопрос. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задавайте!