Question

Вища математика.
Знайти вказані границі, не використовуючи правило Лопіталя

Answer 1

Числитель и знаменатель разложим на множители

\lim_{x \to \inft1} \frac{3 x^{2} -2x+1}{ x^{2} -4x+3} =\lim_{x \to \inft1} \frac{(3x+1)*(x-1)}{(x-3)*(x-1)}=\lim_{x \to \inft1} \frac{3x+1}{x-3} = \frac{4}{-2}=-2lim

x→\inft1

x

2

−4x+3

3x

2

−2x+1

=lim

x→\inft1

(x−3)∗(x−1)

(3x+1)∗(x−1)

=lim

x→\inft1

x−3

3x+1

=

−2

4

=−2

2. Числитель и знаменатель разделим на x²

\lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} +5x+4}{2 x^{2} -x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3+ \frac{5}{x}+ \frac{4}{ x^{2} } }{2- \frac{1}{x} + \frac{1}{ x^{2} } } = =\lim_{x \to \infty} \frac{3+ \frac{5}{oo}+ \frac{4}{oo^{2} } }{2- \frac{1}{oo} + \frac{1}{ oo^{2} } } = \frac{3}{2}lim

x→∞

2x

2

−x+1

3x

2

+5x+4

=lim

x→∞

2−

x

1

+

x

2

1

3+

x

5

+

x

2

4

==lim

x→∞

2−

oo

1

+

oo

2

1

3+

oo

5

+

oo

2

4

=

2

3

3. Приводим ко второму замечательному пределу

\lim_{x \to \infty} ( \frac{2x-7}{2x-3}) ^{4x+1}= \lim_{x \to \infty} ( \frac{2x-3 -4}{2x-3}) ^{4x+1}= \lim_{x \to \infty} (1- \frac{4}{2x-3} ) ^{4x+1}lim

x→∞

(

2x−3

2x−7

)

4x+1

=lim

x→∞

(

2x−3

2x−3−4

)

4x+1

=lim

x→∞

(1−

2x−3

4

)

4x+1

Пусть t=- \frac{4}{2x-3}t=−

2x−3

4

, откуда x= \frac{3}{2} - \frac{2}{t}x=

2

3

−

t

2

При этом t→0

Делаем замену

\lim_{t \to \inft0}(1+t)^{7- \frac{8}{t}} =\lim_{t \to \inft0}(1+t) ^{7} *(1+t) ^{- \frac{8}{t}} = =\lim_{t \to \inft0}(1+t) ^{7} *\lim_{t \to \inft0}((1+t)^{\frac{1}{t}} ) ^{-8} =1*( \lim_{t \to \inft0}(1+t)^{\frac{1}{t}} ) ^{-8} =e ^{-8}lim

t→\inft0

(1+t)

7−

t

8

=lim

t→\inft0

(1+t)

7

∗(1+t)

−

t

8

==lim

t→\inft0

(1+t)

7

∗lim

t→\inft0

((1+t)

t

1

)

−8

=1∗(lim

t→\inft0

(1+t)

t

1

)

−8

=e

−8