Question

Время ремонта телевизора-случайная величина с экспоненциальным законом распределения. Найти функцию и плотность распределения этой случайной величины, если среднее время ремонта телевизора составляет 5 дней. Определить вероятность, того, что на ремонт телевизора потребуется:а) от 4 до 7 дней, б) ровно 6 дней.

Answer 1

Для начала, давай определим, что такое экспоненциальное распределение. Это одно из наиболее распространенных вероятностных распределений, используемых для моделирования времени между возникновением событий. В нашем случае, экспоненциальное распределение будет описывать время ремонта телевизора.

Экспоненциальное распределение, как правило, описывается одним параметром - интенсивностью задержки (или обратным средним временем между событиями). В нашем случае, мы знаем, что среднее время ремонта телевизора составляет 5 дней. Поэтому, можно сказать, что интенсивность задержки равна 1/5 (поскольку обратное среднее время равно 5).

Теперь давай найдем функцию распределения. Функция распределения (F(x)) определяет вероятность того, что случайная величина (в данном случае - время ремонта телевизора) будет меньше или равна заданному значению (x). Для экспоненциального распределения функция распределения выглядит следующим образом:

F(x) = 1 - e^(-λx)

где λ - интенсивность задержки, а x - заданное значение времени ремонта.

В нашем случае, λ = 1/5. Подставим все значения в уравнение:

F(x) = 1 - e^(-(1/5)x)

Теперь давай найдем плотность распределения. Плотность распределения (f(x)) определяет вероятность попадания случайной величины в окрестность заданного значения (x). Для экспоненциального распределения плотность распределения выглядит следующим образом:

f(x) = λe^(-λx)

где λ - интенсивность задержки, а x - заданное значение времени ремонта.

В нашем случае, λ = 1/5. Подставим все значения в уравнение:

f(x) = (1/5)e^(-(1/5)x)

Теперь давай решим задачу по нахождению вероятности для заданных интервалов времени:

а) От 4 до 7 дней:
Для начала найдем вероятность для 4 дней:
P(X <= 4) = F(4) = 1 - e^(-(1/5)*4) = 1 - e^(-4/5) ≈ 0.4493

Затем найдем вероятность для 7 дней:
P(X <= 7) = F(7) = 1 - e^(-(1/5)*7) = 1 - e^(-7/5) ≈ 0.6967

Теперь мы можем найти искомую вероятность:
P(4 <= X <= 7) = P(X <= 7) - P(X <= 4) ≈ 0.6967 - 0.4493 ≈ 0.2474

Ответ: Вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется от 4 до 7 дней, примерно равна 0.2474.

б) Ровно 6 дней:
P(X = 6) = F(6) - F(5) = (1 - e^(-(1/5)*6)) - (1 - e^(-(1/5)*5))

Вычислив это выражение, получим ответ:

Ответ: Вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется ровно 6 дней, будет зависеть от результата полученного выражения.

Надеюсь, ответ был понятен и полезен! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!