Question

С объяснением . Найти пределы, не применяя дифференциальное исчисление (правило Лопиталя):

Answer 1

б) Сделаем замену (только для удобства) $\sqrt[3]{x} = t+2$. Тогда предел перепишется в виде $\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{2t^3+12t^2+24t+25}-5}{t}$. Поскольку $\sqrt{1+u} \leq 1+\dfrac{u}{2},\; u\geq -1$ (докажите самостоятельно), то $\dfrac{\sqrt{2t^3+12t^2+24t+25}-5}{t}=\\ = \dfrac{5\sqrt{\dfrac{2}{25}t^3+\dfrac{12}{25}t^2+\dfrac{24}{25}t+1}-5}{t}\leq \dfrac{5(1+12t/25+6t^2/25+t^3/25)-5}{t} = \dfrac{12+6t+t^2}{5}$

С другой стороны, можем умножить и разделить дробь на сопряженное: $\dfrac{\sqrt{2t^3+12t^2+24t+25}-5}{t} = \dfrac{2t^3+12t^2+24t}{t\left(\sqrt{2t^3+12t^2+24t+25}+5\right)}\geq \dfrac{2t^2+12t+24}{10+12t/25+6t^2/25+t^3/25}$

В итоге получили $\dfrac{12}{5}\stackrel{t\to 0}{\leftarrow}\dfrac{2t^2+12t+24}{t^3/25+6t^2+12t/25+10}\leq\dfrac{\sqrt{2t^3+12t^2+24t+25}-5}{t}\leq \dfrac{12+6t+t^2}{5}\stackrel{t\to0}{\to} \dfrac{12}{5}$, следовательно искомый предел равен $\dfrac{12}{5} = 2.4$.

г) $\lim\limits_{x\to 0}(1+5x)^{\frac{3}{5x}} = \left[\lim\limits_{x\to 0}(1+5x)^{\frac{1}{5x}}\right]^3 = \left[e\right]^3 = e^{3}$.