Question

Установите взаимно - однозначное соответствие между множествами [0;1] и (0,1]

Answer 1

Выделим из [0;1] счетное множество $A=\{\dfrac{1}{2^n}\;|\;n\in N\}$ и обозначим $a_0=0;a_n=\dfrac{1}{2^n},n\in N$. При этом, нетрудно заметить, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2},n\in N$.

Тогда построим отображение отрезка [0;1] на интервал (0;1]:

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\dfrac{1}{2},&x=0\\\dfrac{x}{2},&x\in A\\ x,&x\notin A\cup \{0\}\end{array}\right.$

Т.е. каждый из членов последовательности $\{a_k\}$ "превращается" в следующий за ним, а все остальные значения аргумента остаются неизменными.
Как видим, каждому элементу отрезка соответствует ровно один элемент интервала, и наоборот. Это и означает, что построенное отображение является взаимно-однозначным (но не единственным, в силу неоднозначности задания $f(x)$).