Question

Решить уравнение a²x-1=x+a

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Решение

x(a-1)=a+1

так как

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда

1) an am = an+m

2)

a

n

a

m

=

a

n

−

m

3) (an)m = anm

4) (ab)n = an bn

5)

(

a

b

)

n

=

a

n

b

n

6) an > 0

7) an > 1, если a > 1, n > 0

8) an < am, если a > 1, n < m

9) an > am, если 0< a < 1, n < m

В практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0,

a

≠

1

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0,

a

≠

1

, не имеет корней, если

b

⩽

0

, и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a < 1.

Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.

Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро приближается к оси Oх (но не пересекает её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика функции у = ax при a > 0.

Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох.

Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.

Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0,

a

≠

1

, х — неизвестное. Это уравнение решается с свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0,

a

≠

1

равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 23x • 3x = 576

Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.

ответ х = 2

Решить уравнение 3х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3х - 2, получаем 3х - 2(33 - 2) = 25, 3х - 2 • 25 = 25,

откуда 3х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2

ответ х = 2

Решить уравнение 3х = 7х

Так как

7

x

≠

0

, то уравнение можно записать в виде

3

x

7

x

=

1

, откуда

(

3

7

)

x

=

1

, х = 0

ответ х = 0

Решить уравнение 9х - 4 • 3х - 45 = 0

Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = -5, откуда 3х = 9, 3х = -5.

Уравнение 3х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5х + 2х - 2

Запишем уравнение в виде

3 • 2х + 1 - 2x - 2 = 5х - 2 • 5х - 2, откуда

2х - 2 (3 • 23 - 1) = 5х - 2( 5 2 - 2 )

2х - 2 • 23 = 5х - 2• 23

(

2

5

)

x

−

2

=

1

x - 2 = 0

ответ х = 2

Решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3|

Так как 3 > 0,

3

≠

1

, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|

Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1)2 = (х + 3)2, откуда

х2 - 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1

Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.

ответ х = -1