Question

Найти производную функции u(x,y,z)=ze^x^2+y^2+z^2 в точке M0(0;0;0) по направлению, идущего из точки М0 в точку М1(3;-4;2) Вычислить gradu в точке М0
, очень надо

Answer 1

Для начала, найдем частные производные функции u(x,y,z) по каждой переменной: x, y и z.

Производная по x:
∂u/∂x = 2xze^(x^2+y^2+z^2)

Производная по y:
∂u/∂y = 2yze^(x^2+y^2+z^2)

Производная по z:
∂u/∂z = (2z+2z) * e^(x^2+y^2+z^2) = 4ze^(x^2+y^2+z^2)

Теперь, найдем градиент функции u(x,y,z), который представляет собой вектор из частных производных функции:

gradu = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)

Таким образом, градиент функции u(x,y,z) в точке M0(0;0;0) будет равен:

gradu = (2 * 0 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2), 2 * 0 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2), 4 * 0 * e^(0^2+0^2+0^2))
= (0, 0, 0)

Теперь, чтобы найти производную функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, мы можем использовать формулу:

∂u/∂s = gradu • v

где gradu - градиент функции u(x,y,z) в точке M0, v - вектор направления, идущий из точки М0 в точку М1, и • - операция скалярного произведения.

Вычислим градиент функции u(x,y,z) в точке M0 (как мы уже нашли, gradu = (0, 0, 0)) и найдем вектор v:

v = (x1-x0, y1-y0, z1-z0) = (3-0, -4-0, 2-0) = (3, -4, 2)

Теперь, найдем скалярное произведение gradu и v:

gradu • v = (0, 0, 0) • (3, -4, 2) = 0*3 + 0*(-4) + 0*2 = 0

Таким образом, производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0.

В итоге, мы получили, что производная функции u(x,y,z) по направлению, идущему из точки М0 в точку М1, равна 0, а градиент функции u(x,y,z) в точке М0 также равен 0.