Question

1.верно ли, что сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только две ненулевые цифры a и b, всегда делится на 11111? (например, двузначными числами, в десятичной записи которых используются цифры 1 и 2, являются числа: 11,12,21,22

Answer 1

Да

Пошаговое объяснение:

Заметим, что каждому такому числу можно сопоставить другое число, заменив цифру a на b и наоборот (например, числу $\overline{abbab}$ соответствует число $\overline{baaba}$). Рассмотрим сумму двух таких чисел. Для этого распишем их в развёрнутой форме: $\overline{abbab}=10000a+1000b+100b+10a+b$, $\overline{baaba}=10000b+1000a+100a+10b+a$. Их сумма равна $\overline{abbab}+\overline{baaba}=10000(a+b)+1000(a+b)+100(a+b)+10(a+b)+\\+(a+b)=(a+b)(10000+1000+100+10+1)=11111(a+b)$. Она делится на 11111. Любая такая сумма делится на 11111, поскольку если перед некоторым множителем 10ⁿ в одном числе стоит a, то в другом — обязательно b, и в сумме получаем (a + b)·10ⁿ. Поскольку сумма каждой такой пары делится на 11111, то и сумма сумм (без повторений) тоже будет делиться на 11111, но сумма таких сумм — это все числа, удовлетворяющие условию задачи.