Question

Два различных натуральных числа N и M имеют по 14 делителей: 1 = d(1)< d(2) < . . . < d(14) = N, 1 = D(1) < D(2) < . . . < D(14)= M. Известно, что M^(3) делится на N. Найдите M, если M+N = 11584

Answer 1

М= 3392

Пошаговое объяснение:

Найти число М , если М + N = 11 584.

Что мы знаем про числа М и N ?

1). Это два различных натуральных числа.

2). Оба имеют по 14 делителей

          1 = d₁ < d₂< ... < d₁₄ = N

          1 = D₁ < D₂ < ... < D14 = M.

3). М³ делится N.

4). M + N = 11 584

Каждое из чисел имеет по 14 делителей.

То есть число N мы можем записать как :

$\displaystyle N=p_{1} ^{\alpha_{1} } *p_{2} ^{\alpha _{2} }...p_{n} ^{\alpha _{n} }$

Помним ,  что есть  уравнение для определения количества делителей, или множителей данного числа.

Это уравнение выглядит следующим образом:

d(n)= (a+1)*(b+1)*(c+1),

где d(n) — количество делителей числа n,

и  a, b ,c — степени в разложении данного числа на простые множители.

Тогда количество делителей нашего числа N, мы можем записать как :

d(N) = (α₁+1)*(α₂ +1)*...(αₙ +1) и это , по условию, равно 14.

Значит можем записать число N как произведение двух множителей:

N=pⁿqˣ

а количество его делителей

d(N) = (n+1)(x+1)= 14

Число 14 можно разложить на простые множители только двумя :

14 = 1 * 14

14 = 2 * 7

Следовательно  значения n и x могут быть :

если  14 = 1 * 14, то

n+1 = 1        и        x+1 = 14

n = 0                    x= 13

если 14 = 2 * 7, то

n + 1 = 2      и        x+ 1 = 7

n = 1                      x = 6

Число N может выглядеть как :

N = p⁰q¹³=q¹³  или N = p¹q⁶ =pq⁶

Все это справедливо и для числа М . То есть Число М может также выглядеть как М=q¹³  или М =pq⁶.

Но мы знаем , что M³ делится  на N ,такое возможно только в одном случае, если  М =pq⁶, а N =q¹³

Проверим :

$\frac{M^{3} }{N}=\frac{(pq^6)^3}{q^{13} } =\frac{p^3q^{18} }{q^{13} }=p^{3}q^5$

Как видим , все справедливо.

Зная, что М =pq⁶, а N =q¹³   и М + N = 11 584, можем найти чему равно М.

M + N = pq⁶ + q¹³ = q⁶(p+q¹³) = 11 584

можно записать так :

q⁶( p+q⁷) = 11 584

Найдем какое число , при разложении 11 584 на простые множители, даст шестую степень.

11 584 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 181 = 2⁶ * 181

соответственно q = 2 и  получим

2⁶*( р + 2⁷) = 11 584

64*( р + 128) = 11 584

р + 128 = 181

р + 128 = 181 - 128

р = 53

и тогда

М =pq⁶ = 53 *64 = 3392

мы нашли чему равно число М.