Для того чтобы найти наименьшее возможное значение выражения a+b+c, при условии что ab+bc+ac⩾a+b+c⩾0, мы можем использовать метод начальных догадок и математическую логику.
Давайте рассмотрим некоторые начальные значения для a, b и c. Мы знаем, что a+b+c > 0. Поскольку нам нужно найти наименьшее возможное значение, мы можем начать с предположения, что все числа a, b и c положительны.
Допустим, что все три числа положительны. Тогда ab+bc+ac⩾a+b+c будет иметь следующий вид:
ab+bc+ac > a+b+c
Мы можем объединить члены, содержащие a:
a(b+c) > (a+b+c)
Мы также можем объединить члены, содержащие b и c:
b(a+c) + c(a+b) > (a+b+c)
Теперь мы знаем, что все члены в левой части должны быть положительными, чтобы удовлетворять условию. Таким образом, мы имеем:
a > (a+b+c)
b > (a+b+c)
c > (a+b+c)
Мы видим, что это противоречит условию a+b+c > 0. Поэтому мы можем заключить, что не все три числа а, b и с могут быть положительными.
Давайте рассмотрим другой случай, когда только два числа из трех положительные.
Выполним тот же самый процесс:
Если a и b положительные, тогда ab+bc+ac⩾a+b+c можно записать как:
ab > (a+b+c)
Опять же, объединяем это в одно неравенство:
(a+b)(a+c) > (a+b+c)
Таким же образом для случая, когда a и c положительные, мы получим:
(a+b)(b+c) > (a+b+c)
А для случая, когда b и c положительные, мы получим:
(a+c)(b+c) > (a+b+c)
Учитывая, что a+b+c > 0 и два числа из трех положительные, мы можем заключить, что произведения (a+b), (a+c) и (b+c) действительно всегда больше a+b+c.
Теперь вернемся к исходному вопросу, каково наименьшее возможное значение a+b+c при условии, что ab+bc+ac⩾a+b+c⩾0.
Мы показали, что a+b+c всегда меньше произведений (a+b), (a+c) и (b+c). Чтобы найти наименьшее возможное значение a+b+c, мы должны определить минимальное из этих произведений.
Итак, наименьшее возможное значение a+b+c будет равно (a+b), (a+c) или (b+c), в зависимости от того, какое из этих произведений минимальное.
Например, если (a+b) минимальное, то a+b+c будет минимальным.
В заключение, чтобы найти наименьшее возможное значение a+b+c при условии, что ab+bc+ac⩾a+b+c⩾0, мы должны вычислить значения (a+b), (a+c) и (b+c) и выбрать минимальное из них.
Давайте рассмотрим некоторые начальные значения для a, b и c. Мы знаем, что a+b+c > 0. Поскольку нам нужно найти наименьшее возможное значение, мы можем начать с предположения, что все числа a, b и c положительны.
Допустим, что все три числа положительны. Тогда ab+bc+ac⩾a+b+c будет иметь следующий вид:
ab+bc+ac > a+b+c
Мы можем объединить члены, содержащие a:
a(b+c) > (a+b+c)
Мы также можем объединить члены, содержащие b и c:
b(a+c) + c(a+b) > (a+b+c)
Теперь мы знаем, что все члены в левой части должны быть положительными, чтобы удовлетворять условию. Таким образом, мы имеем:
a > (a+b+c)
b > (a+b+c)
c > (a+b+c)
Мы видим, что это противоречит условию a+b+c > 0. Поэтому мы можем заключить, что не все три числа а, b и с могут быть положительными.
Давайте рассмотрим другой случай, когда только два числа из трех положительные.
Выполним тот же самый процесс:
Если a и b положительные, тогда ab+bc+ac⩾a+b+c можно записать как:
ab > (a+b+c)
Опять же, объединяем это в одно неравенство:
(a+b)(a+c) > (a+b+c)
Таким же образом для случая, когда a и c положительные, мы получим:
(a+b)(b+c) > (a+b+c)
А для случая, когда b и c положительные, мы получим:
(a+c)(b+c) > (a+b+c)
Учитывая, что a+b+c > 0 и два числа из трех положительные, мы можем заключить, что произведения (a+b), (a+c) и (b+c) действительно всегда больше a+b+c.
Теперь вернемся к исходному вопросу, каково наименьшее возможное значение a+b+c при условии, что ab+bc+ac⩾a+b+c⩾0.
Мы показали, что a+b+c всегда меньше произведений (a+b), (a+c) и (b+c). Чтобы найти наименьшее возможное значение a+b+c, мы должны определить минимальное из этих произведений.
Итак, наименьшее возможное значение a+b+c будет равно (a+b), (a+c) или (b+c), в зависимости от того, какое из этих произведений минимальное.
Например, если (a+b) минимальное, то a+b+c будет минимальным.
В заключение, чтобы найти наименьшее возможное значение a+b+c при условии, что ab+bc+ac⩾a+b+c⩾0, мы должны вычислить значения (a+b), (a+c) и (b+c) и выбрать минимальное из них.