Question

Сколько существует целых значений a, при которых неравенство дальше во вложении

Answer 1

0; 1; 2

Пошаговое объяснение:

Так как  $x^2 + 1 0$  для любого $x$, то можно умножить все части неравенства на  $x^2 + 1$, при этом сохранив знаки.

Получим  

$-x^2 - 1 < ax^2 + x + 2 < 3x^2 + 3$

Рассмотрим первое неравенство

$1) \ ax^2 + x + 2 -x^2 - 1$

$(a + 1)x^2 + x + 3 0$

Данному неравенству соответствует парабола

$y = (a + 1)x^2 + x + 3$

Для того, чтобы для всех $x$ значения параболы были положительны, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

а) Ветви параболы должны быть направлены вверх, то есть

$a + 1 0 \Rightarrow a -1$

б) Парабола не должна пересекать ось $Ox$ (у неё не должно быть корней), то есть $D < 0$

$D = 1 - 12(a + 1) \Rightarrow 1 - 12(a + 1) < 0$

$12a -11 \Rightarrow a -\dfrac{11}{12}$

Из приведённых условий

$\begin{cases} a -1 \\a -\dfrac{11}{12}\end{cases} \Rightarrow a -\dfrac{11}{12}$

Рассмотрим второе неравенство

$2) \ ax^2 + x + 2 < 3x^2 + 3$

$(a - 3)x^2 + x - 1 < 0$

Данному неравенству соответствует парабола

$y = (a - 3)x^2 + x - 1$

Для того, чтобы для всех $x$ значения параболы были отрицательны, необходимо и достаточно выполнение двух условий:

а) Ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть

$a - 3 < 0 \Rightarrow a < 3$

б) Парабола не должна пересекать ось $Ox$ (у неё не должно быть корней), то есть $D < 0$

$D = 1 + 4(a - 3) \Rightarrow 1 + 4(a - 3) < 0$

$4a < 11 \Rightarrow a < \dfrac{11}{4}$

Из приведённых условий

$\begin{cases} a < 3 \\a < \dfrac{11}{4}\end{cases} \Rightarrow a < \dfrac{11}{4}$

В итоге для двойного неравенства

$\begin{cases} a -\dfrac{11}{12} \\ \\a < \dfrac{11}{4}\end{cases} \Rightarrow -\dfrac{11}{12} < a < \dfrac{11}{4}$

В данном промежутке лежат следующие целые значения $a$:

$a = 0, \ a = 1, \ a = 2$