Question

Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней трехчлена х^2-4ах+5а-1 равна 2

Answer 1

Для начала найдем корни трехчлена, чтобы дальше воспользоваться ими и найти сумму их квадратов.

У нас есть трехчлен x^2 - 4ax + 5a - 1. Для того чтобы найти его корни, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта.

Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b, c - коэффициенты трехчлена. В нашем случае a = 1, b = -4a, c = 5a - 1.

Подставляем значения в формулу дискриминанта и получаем D = (-4a)^2 - 4*1*(5a - 1).

Выполняем вычисления: D = 16a^2 - 4(5a - 1).

Приводим получившееся выражение к более простому виду: D = 16a^2 - 20a + 4.

Теперь найдем значения параметра а, при которых D равен 0. Это будут значения, при которых имеется один корень или корни совпадают.

Решаем уравнение D = 0: 16a^2 - 20a + 4 = 0.

Выносим общий множитель: 4(4a^2 - 5a + 1) = 0.

Приводим полученное уравнение к квадратному трехчлену и решаем его. Для удобства можно воспользоваться формулой дискриминанта.

Дискриминант D' равен: D' = b^2 - 4ac, где a', b', c' - коэффициенты уравнения.

В нашем случае a' = 4, b' = -5, c' = 1.

Подставляем значения и получаем D' = (-5)^2 - 4*4*1.

Выполняем вычисления: D' = 25 - 16 = 9.

Так как D' > 0, то уравнение имеет два различных корня.

Используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D') / (2a').

Подставляем значения и находим корни:
x₁ = (-(-5) + √9) / (2*4) = (5 + 3) / 8 = 8 / 8 = 1.
x₂ = (-(-5) - √9) / (2*4) = (5 - 3) / 8 = 2 / 8 = 1/4.

Теперь находим сумму квадратов корней:
(1)^2 + (1/4)^2 = 1 + 1/16 = 17/16.

Задача гласит, что сумма квадратов корней должна быть равна 2. Поэтому уравнение 17/16 = 2 не имеет решений.

Ответ на задачу: нет значений параметра а, при которых сумма квадратов корней трехчлена x^2 - 4ax + 5a - 1 равна 2.