Question

Если a+b=4 и ab=3, найдите значение выражения a^4+b^4

Answer 1

82

Пошаговое объяснение:

1) $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ (формула бинома Ньютона)

Т. к. ab = 3,

$(a+b)^4 = a^4 + 12a^2 + 54 + 12b^2 + b^4 = a^4 + b^4 + 12(a^2 + b^2) + 54$

2) Удобно сделать замену:

пусть $t = a^2 + b^2$, тогда

$(a+b)^4 = t^2 - 2*a^2b^2 + 12t + 54 = t^2 + 12t + 36$

3) Т. к. a+b = 4, то (a+b)^4 = 256

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 + 12t + 36 = 256$

$t^2 + 12t - 220 = 0$

$D = 144 + 4*220 = 1024; \sqrt{D} = 32$

$t_1 = 10; t_2 = -22$

4) Т. к. $t = a^2 + b^2,$ то $t$ ≥ 0, значит t = -22 не подходит

t = 10, т. е. $a^2 + b^2 = 10$. Подставляя это значение в разложение (a+b)^4 из п. 1, получаем

$(a+b)^4 = a^4 + b^4 + 12*10 + 54 = a^4 + b^4 + 174$

Т. к. (a+b)^4 = 256 (п. 3), то $a^4 + b^4 + 174 = 256$, откуда

$a^4 + b^4 = 82$