Чтобы найти область определения функции y = 5/√(5-14x-3x^2), нам нужно определить значения x, при которых функция определена.
Первым шагом будем искать значения x, которые делают выражение под корнем неотрицательным (так как корень от отрицательного числа невозможен). Для этого решим неравенство 5 - 14x - 3x^2 ≥ 0.
2. Затем перенесем все члены в левую сторону неравенства: -3x^2 - 14x + 5 + 0 ≥ 0.
3. Теперь попробуем факторизовать квадратное уравнение. Найдем два числа, которые перемножаются, чтобы давать -15 (коэффициент при x^2), и сумма которых равна -14 (коэффициент при x). Эти числа -5 и -3. Разложим уравнение на множители:
(-3x + 1)(x + 5) ≥ 0.
4. Теперь найдем точки, в которых это равенство равно нулю. Получаем две точки: x = -5 и x = 1/3.
5. Теперь построим знаки на числовой прямой: (-∞, -5), (-5, 1/3), (1/3, +∞).
6. Исследуем знаки внутри каждого интервала. На интервале (-∞, -5), произведение имеет знак "+", так как оба множителя отрицательны. На интервале (-5, 1/3), произведение имеет знак "-", так как один множитель отрицательный, а другой положительный. Наконец, на интервале (1/3, +∞), произведение имеет знак "+", так как оба множителя положительные.
Итак, область определения функции будет состоять из всех значений x, принадлежащих интервалам, где произведение неотрицательно. То есть, область определения функции будет (-∞, -5] ∪ (1/3, +∞).
Первым шагом будем искать значения x, которые делают выражение под корнем неотрицательным (так как корень от отрицательного числа невозможен). Для этого решим неравенство 5 - 14x - 3x^2 ≥ 0.
1. Начнем с раскрытия скобок: -3x^2 - 14x + 5 ≥ 0.
2. Затем перенесем все члены в левую сторону неравенства: -3x^2 - 14x + 5 + 0 ≥ 0.
3. Теперь попробуем факторизовать квадратное уравнение. Найдем два числа, которые перемножаются, чтобы давать -15 (коэффициент при x^2), и сумма которых равна -14 (коэффициент при x). Эти числа -5 и -3. Разложим уравнение на множители:
(-3x + 1)(x + 5) ≥ 0.
4. Теперь найдем точки, в которых это равенство равно нулю. Получаем две точки: x = -5 и x = 1/3.
5. Теперь построим знаки на числовой прямой: (-∞, -5), (-5, 1/3), (1/3, +∞).
6. Исследуем знаки внутри каждого интервала. На интервале (-∞, -5), произведение имеет знак "+", так как оба множителя отрицательны. На интервале (-5, 1/3), произведение имеет знак "-", так как один множитель отрицательный, а другой положительный. Наконец, на интервале (1/3, +∞), произведение имеет знак "+", так как оба множителя положительные.
Итак, область определения функции будет состоять из всех значений x, принадлежащих интервалам, где произведение неотрицательно. То есть, область определения функции будет (-∞, -5] ∪ (1/3, +∞).