1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R при х ≠ 1.
2. Функция f (x) = (2x-1)/(x-1)^2 непрерывна на всей области определения.
Точка, в которой функция точно не определена (разрыв функции): х ≠ 1.
Область значений функции приведена в пункте 5.
3. Точки пересечения с осью координат Ох.
График функции пересекает ось Ох при f = 0, значит надо решить уравнение:
(2x-1)/(x+1)^2 =0.
Достаточно для дроби приравнять нулю числитель и проверить, не превращается ли в 0 знаменатель при найденных корнях.
Приравниваем нулю: 2х - 1 = 0. х = 0,5.
Значит, функция может принимать значения х = 0, так как точка, при которой знаменатель превращается в 0, это х = 1.
4. Точки пересечения с осью координат Оу.
График пересекает ось Oy, когда x равняется 0.
В соответствии с пунктом 3 х = 0, точка пересечения графика с осью координат Оу: х = 0.
Результат: f(0) = -1. Точка: (0, -1).
5. Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
y’ = 0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
y^'=-2x/(x-1)^3 =0.
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): 2x=0.
Получаем 1 корень этого уравнения и это - точка, в которых возможен экстремум: х = 0 .Эта точка делит область определения функции на 2 промежутка, а с учётом точки разрыва функции при х = 1 получаем 3 промежутка монотонности функции :
x ϵ (-∞; 0) U (0; 1) U (1; +∞).
На промежутках находим знаки производной.
Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
x = -1 0 0,5 1 2
y' = -0,25 0 8 - -4
Минимум функции в точке х = 0.
Максимума функции нет.
Возрастает на промежутке: x ϵ (0; 1).
Убывает на промежутках: (-∞; 0) (1; +∞)..
Наличие точки разрыва функции первого рода требует определения предела функции при приближении к точке х = 1.
Находим пределы при х→1_(-0) и х→1_(+0).
lim┬(x→1)〖(2x-1)/(x-1)^2 =∞〗.
Так как в точке х = 1 функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением х = 1, является вертикальной асимптотой графика.
Отсюда находим область значений функции - вся числовая ось: E(y) = R.
6. Точки перегибов графика функции:
Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.
y^''=(2(2x+1))/(x-1)^4 =0.
Это уравнение имеет решение при 2x+1=0,x=-1/2.
Поэтому у графика перегиб в точке ((-1/2); (-8/9)).
7. Интервалы выпуклости, вогнутости:
Так как вертикальная асимптота делит график на 2 части, а точка перегиба находится в одной из них, то имеем 3 промежутка выпуклости функции:
x ϵ (-∞; (-1/2)) U ((-1/2); 1) U (1; +∞).
Находим знаки второй производной на этих промежутках - где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый:
x = -1 -0,5 0,5 1 2
y'' = -0,125 0 64 - 10
Выпуклая на промежутке: (-∞; (-1/2)).
Вогнутая на промежутках: ((-1/2); -1) и (-1; ∞).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота определилась в пункте 2, это прямая х = 1.
Горизонтальные асимптоты графика функции:
Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соотвествующие пределы находим:
lim┬(x→∞)〖2x/(x-1)^2 =∞〗, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует
lim┬(x→-∞)〖2x/(x-1)^2 =-∞〗,, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
Наклонные асимптоты графика функции
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y=kx+b. Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при lim┬( x→±∞)〖(kx+b-f(x)).〗
Находим коэффициент k: k=lim┬(x→±∞)〖(f(x))/x.〗
k= lim┬(x→∞)〖(2x-1)/((x-1)^2 x)=(2x-1)/(x^3-2x^2+x)=(2x/x^3 -1/x^3 )/(x^3/x^3 -(2x^2)/x^3 +x/x^3 )=(0-0)/(1-0+0)=0.〗
Так как коэффициент к = 0, то наклонной асимптоты нет, она совпадает с осью Ох при x→∞.
9. Четность и нечетность функции:
Проверим функцию - четна или нечетна с соотношений f(-x)=f-x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем: f(-x)=(-2x-1)/(-x-1)^2 =(-(2x+1))/(x+1)^2 ≠f(x)≠-f(x).
3начит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Таблица точек
x y
-4.0 -0.36
-3.5 -0.4
-3.0 -0.44
-2.5 -0.49
-2.0 -0.56
-1.5 -0.64
-1.0 -0.75
-0.5 -0.89
0 -1
0.5 0
1.0 -
1.5 8
2.0 3
2.5 1.78
3.0 1.25
3.5 0.96
4.0 0.78
4.5 0.65
5.0 0.56
5.5 0.49
6.0 0.44
Пошаговое объяснение:
а) 
б) 
в) 
Пошаговое объяснение:
Привет! Давай решать.
А)
Переводим десятичную в обычную.
Получается такой пример:
Сейчас, нужно найти общий знаменатель:
В первой дроби знаменатель и числитель умножили на 5, во второй на 3.
Превращаем в целую, несократимую дробь.
Вот первая дробь решена.
Б)
Десятичную превращаем в обычную.
Приводим дроби к общему знаменателю:
В первой дроби знаменатель и числить умножаем на 5, а во второй ничего не умножаем. Вычисляем:
Превращаем в целую, несократимую дробь:
Вот вторая дробь решена.
В) Уравнение.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Переносим дробь с левой части в правую через равно, меняя знак:
Вычисляем:
Вот уравнение и решено!
а = 12 см - первое измерение
b = 24 см - второе измерение
с = 18 см - третье измерение
L = 4 · (a + b + c) = 4 · (12 + 24 + 18) = 4 · 54 = 216 см - сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.
ответ: 216 см.