область определения функции y=x ln x от нуля до бесконечности, не включая нуль 2) y(-x)=-x ln x - общего вида. 3) точки пересечения с осями: Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет. Ox: y=0, то есть x ln x=0 x=0 или ln x=0 0 ¢ D(y) x=e0 x=1 (1;0) – точка пересечения с осью х 4) Найдем производную функции: y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1 5) критические точки: y’=0, то есть ln x +1=0 ln x=-1 x=e-1 x=1/e (≈ 0,4) y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e – критическая точка. 6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
-1/e - + 1/e x=1/(2e); y’=log(2e)-1+1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0 x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0 7) Так как на промежутке (0;1/е) y'(x)<0 то на этом промежутке функция убывает Так как на промежутке (1/е; бесконечность) y'(x)>0 то на этом промежутке функция возрастат. Следовательно точка х=1/е является точкой минимума. 8) экстремумы функции: ymin=y(1/e)=1/e ln e-1=-1/e (≈ -0,4). 9) Горизонтальной асимптоты у функции нет, поскольку предел функции при стремлении х в плюс бесконечность равен плюс бесконечности. Вертикальные асимптомы- подозреваемая точка х=0(граница области определения).Чтобы узнать, будет ли х=0 вертикальной асимптотой надо найти предел функции при х стремящемся к нулю справа. этот предел равен нулю. Следовательно, по определению, х=0 не является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты. Если они и есть, то только правые (слева область определения ограниченна 0). по теореме о существовании наклонных асимптот, если существуют конечные lim f(x)/x =k и lim f(x)-kx =b (х в обоих случаях стремится к плюс бесконечности, раз ищем правую асимптоту) , то y=kx+b будет наклонной асимптотой. вычисляя lim f(x)/x получаем бесконечность, следовательно, наклонных асимптот нет. Таким образом, у функции нет асимптот
