Question

Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n справедливы следующие два утверждения: 1)фотография
2)${3}^{n} n \times {2}^{n}$

Answer 1

Смотри, я думаю базу писать незачем, сам проверишь
1)

$2^{3^{k} } +1$  кратно 3 (предположение )

$2^{3^{k+1} } = 2^{3^{k}*3 }=8^{3^{k} }$ будем смотреть по модулю три. 8 дает остаток два, значит можем понизить оснавание степени $8^{3^{k} }$ ≡$2^{3^{k} }$ (mod 3) отсюда следует что

$8^{3^{k} }+1$≡$2^{3^{k} } +1$≡0(mod 3) по предположению

2)

$3^{k}k*2^k$  (предположение)

$3^{k+1} vs (k+1)*2^{k+1}$vs это тип мы не знаем какое число больше

поделим каждую часть на два

$3^{k}+0.5*3^{k} vs (k+1)*2^{k}$

раскроем скобки

$3^{k}+0.5*3^{k} vs 2^{k}+2^k*k$

скоращаем 3^k и (2^k)*k  по предположению

домножим все на 2 и получим

$3^{k} vs 2^{k+1}$
что логично верно при любом к>1  (можно тоже по индукции доказать) ну или просто, что мы увеличивая к на 1 домножаем левую часть на 3 а правую на 2
Ну а случай к=1 можно проверить просто подставив
(решение не самое красивое)