Question

Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A4 перпендикулярно плоскости А1А2А3.

А4(2, −3,7);

Answer 1

Чтобы найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A4 и перпендикулярной плоскости А1А2А3, нам нужно знать нормальный вектор этой плоскости.

Чтобы найти нормальный вектор плоскости А1А2А3, мы можем воспользоваться косинусными связями. Для этого берем два вектора:

Вектор A1A2, который задается координатами A1(х1, у1, z1) и A2(х2, у2, z2).
Вектор A1A3, который задается координатами A1(х1, у1, z1) и A3(х3, у3, z3).

Чтобы найти эти векторы, воспользуемся формулой разности векторов:

A1A2 = (х2-х1, у2-у1, z2-z1)
A1A3 = (х3-х1, у3-у1, z3-z1)

Теперь у нас есть два вектора, и мы можем найти их векторное произведение, чтобы получить нормальный вектор плоскости А1А2А3. Формула для векторного произведения векторов a и b выглядит следующим образом:

a x b = (aybz - azby, azbx - axbz, axby - aybx)

Применяем эту формулу к векторам A1A2 и A1A3:

A1A2 x A1A3 = ((у2-у1)(z3-z1) - (z2-z1)(у3-у1), (z2-z1)(х3-х1) - (х2-х1)(z3-z1), (х2-х1)(у3-у1) - (у2-у1)(х3-х1))

Теперь мы получили нормальный вектор плоскости А1А2А3. Пусть этот вектор обозначается как n(xn, yn, zn).

Для построения прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через точку A4, нам нужно найти вектор, параллельный этой прямой. Для этого мы можем взять векторное произведение нормального вектора плоскости n и вектора, задающего прямую a (a1, a2, a3):

a x n = ((a2zn - a3yn), (a3xn - a1zn), (a1yn - a2xn))

Получившийся вектор будет параметрами для прямой, проходящей через точку A4 и перпендикулярной плоскости А1А2А3.

Таким образом, параметрические уравнения прямой будут иметь вид:

x = 2 + t(a2zn - a3yn)
y = -3 + t(a3xn - a1zn)
z = 7 + t(a1yn - a2xn)

где t - параметр, a1, a2, a3 - координаты вектора, задающего прямую, xn, yn, zn - координаты нормального вектора плоскости А1А2А3, а значения 2, -3, 7 - координаты точки A4.