если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+p)2+q, где p и q — действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.
покажем на примере как это преобразование делается.
выделим из трехчлена 2x2+12x+14 квадрат двучлена.
вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
2
x
2
+
12
x
+
14
=
2
(
x
2
+
6
x
+
7
)
преобразуем выражение в скобках.
для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 32. получим:
2
(
x
2
+
2
⋅
3
⋅
x
+
3
2
−
3
2
+
7
)
=
2
(
(
x
+
3
)
2
−
3
2
+
7
)
=
=
2
(
(
x
+
3
)
2
−
2
)
=
2
(
x
+
3
)
2
−
4
т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что:
2
x
2
+
12
x
+
14
=
2
(
x
+
3
)
2
−
4
разложение на множители квадратного трехчлена
если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.
покажем на примере как это преобразование делается.
разложим квадратный трехчлен 2x2+4x-6 на множители.
вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
2
(
x
2
+
2
x
−
3
)
преобразуем выражение в скобках.
для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. получим:
=
2
(
x
2
+
3
⋅
x
−
1
⋅
x
−
1
⋅
3
)
=
2
(
x
(
x
+
3
)
−
1
⋅
(
x
+
3
)
)
=
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
3
)
т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что:
2
x
2
+
4
x
−
6
=
2
(
x
−
1
)
(
x
+
3
)
заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни.
т.е. в нашем случае разложить на множители трехчлен 2x2+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет корни. в процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2x2+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к. при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство
пусть х - меньшее число, тогда 4,5х - большее число.
уравнение: 4,5х - 54 = х + 72
4,5х - х = 72 + 54
3,5х = 126
х = 126 : 3,5
х = 36 - меньшее число
4,5 * 36 = 162 - большее число
ответ: числа 162 и 36.
проверка:
162 - 54 = 36 + 72
108 = 108
1)168
2)838
3)534
4)858
5)743
6)273
7)748
8)373
9)364
10)477
11)744
12)356
13)566
14)378
15)663