2) у піраміди 180 вершин. Скільки вершин в основі цієї піраміди?
A 179;
Б 181;
в 170;
г 80.

Question

Математика: 2) у піраміди 180 вершин. Скільки вершин в основі цієї піраміди? A 179; Б 181; в 170; г 80.

ппапаапа · Accepted Answer

Рассмотрим треугольник одна вершина которого совпадает с вершиной пирамиды, а две другие - середины противолежащих сторон основания

SA = SB * sin ABS

SB = AB / cos ABS

AB = OB * cos ABO

OB = AO / sin ABO

учитывая, что AO = 1 по условию

AB = 2 (половина стороны основания)

2 = AB = OB * cos ABO = (AO / sin ABO) * cos ABO = cos ABO / sin ABO

или cos ABO = 2 sin ABO

угол ABS в два раза больше ABO. Поэтому по формулам преобразования двойных углов получим

SA = SB * sin ABS = (AB / cos ABS) * sin ABS =

= (2 / (cos^2 ABO - sin^2 ABO)) * 2 sin ABO cos ABO =

(подставим здесь формулу cos ABO = 2 sin ABO)

= 4 sin ABO (2 sin ABO) / (4 sin^2 ABO - sin^2 ABO) =

=8 sin^2 ABO / (3 sin^2 ABO) = 8/3

Объем пирамиды равен 1/3 hS = 1/3 * 8/3 * 4*4 = 128/9 = $14\frac{2}{9}$