дана функция у=х⁴/3х²+4 а) запишите уравнение вертикальной асимптоты б) с выделения целой части, найдите уравнение наклонной асимптоты с) используя предел, покажите, что вы верно нашли наклонную асимптоту
Добрый день! Давайте рассмотрим задачу по порядку.
а) Чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты, нужно рассмотреть поведение функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности. Если значение функции становится очень большим по модулю при x, стремящемся к бесконечности, то у функции есть вертикальная асимптота. Для этого разделим числитель и знаменатель функции на самую высокую степень х, которая встречается, в данном случае х²:
у = (х⁴) / (3х² + 4)
Упрощая выражение получаем:
у = (1/3) * (х²/х²) = 1/3
То есть функция имеет горизонтальную асимптоту у = 1/3.
б) Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно выделить целую часть и найти остаток. В нашей функции есть х², поэтому мы можем считать, что x² >> 4. Поэтому мы можем использовать деление стандартным способом:
ход решения:
___________
3х² + 4 | х⁴
х²
______
3х² + 4 | х⁴
-х⁴ - 4
_______
4
То есть целая часть равна -х²/3.
В остатке у нас остается 4. Поэтому у нас получается итоговое уравнение наклонной асимптоты y = -х²/3 + 4.
в) Для демонстрации, что мы правильно нашли наклонную асимптоту, введем предел функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности. Если левый и правый предел будут равны уравнению наклонной асимптоты, то это будет подтверждение того, что мы правильно нашли наклонную асимптоту.
При x, стремящемся к бесконечности, вычислим предел функции:
lim (x → ∞) (х⁴ / (3х² + 4))
Мы можем использовать правило Лопиталя для вычисления предела, так как у нас функция имеет неопределенность типа ∞/∞:
lim (x → ∞) (4x³ / (6x)) = lim (x → ∞) (2x² / 3)
При x, стремящемся к бесконечности, предел равен ∞²/3 = ∞.
Теперь рассмотрим предел функции при x, стремящемся к минус бесконечности:
а) Чтобы найти уравнение вертикальной асимптоты, нужно рассмотреть поведение функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности. Если значение функции становится очень большим по модулю при x, стремящемся к бесконечности, то у функции есть вертикальная асимптота. Для этого разделим числитель и знаменатель функции на самую высокую степень х, которая встречается, в данном случае х²:
у = (х⁴) / (3х² + 4)
Упрощая выражение получаем:
у = (1/3) * (х²/х²) = 1/3
То есть функция имеет горизонтальную асимптоту у = 1/3.
б) Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, нужно выделить целую часть и найти остаток. В нашей функции есть х², поэтому мы можем считать, что x² >> 4. Поэтому мы можем использовать деление стандартным способом:
ход решения:
___________
3х² + 4 | х⁴
х²
______
3х² + 4 | х⁴
-х⁴ - 4
_______
4
То есть целая часть равна -х²/3.
В остатке у нас остается 4. Поэтому у нас получается итоговое уравнение наклонной асимптоты y = -х²/3 + 4.
в) Для демонстрации, что мы правильно нашли наклонную асимптоту, введем предел функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности. Если левый и правый предел будут равны уравнению наклонной асимптоты, то это будет подтверждение того, что мы правильно нашли наклонную асимптоту.
При x, стремящемся к бесконечности, вычислим предел функции:
lim (x → ∞) (х⁴ / (3х² + 4))
Мы можем использовать правило Лопиталя для вычисления предела, так как у нас функция имеет неопределенность типа ∞/∞:
lim (x → ∞) (4x³ / (6x)) = lim (x → ∞) (2x² / 3)
При x, стремящемся к бесконечности, предел равен ∞²/3 = ∞.
Теперь рассмотрим предел функции при x, стремящемся к минус бесконечности:
lim (x → -∞) (х⁴ / (3х² + 4))
Опять применим правило Лопиталя:
lim (x → -∞) (4x³ / (6x)) = lim (x → -∞) (2x² / 3)
При x, стремящемся к минус бесконечности, предел равен (-∞)²/3 = ∞.
Таким образом, оба предела совпадают с уравнением наклонной асимптоты, подтверждая наше решение.
Надеюсь, что данное объяснение было понятным и полезным для вас! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Удачи в учебе!