ПРИМЕР. В задачах даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC.
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=xj-xi; Y=yj-yi
здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB: X=x2-x1=12-7=5; Y=y2-y1=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми. Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2=X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.88) = 28.070
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB. Каноническое уравнение прямой:
или
y=3/5x-41/5 или 5y-3x+41=0
2) 125 х 32 = 4000(куб.см) - объём коробки
ответ: 4000 куб.см - объем коробки
2. Коробка с квадратным дном, значит размеры сторон днища коробки должны быть
одинаковыми. Разместим кубики в 2 ряда по высоте.
1) 5 + 5 = 10(см) высота коробки
2) 4000 : 10 = 400(кв. см) - площадь квадратного дна коробки
3) 400кв.см = 20см х 20см
Значит, размер коробки 20 х 20см и высотой 10см
Второй подходящий вариант размеров днища коробки, когда кубики уложены по
высоте в 8 рядов.
1) 5 х 8 = 40(см) высота коробки
2) 4000 : 40 = 100(кв.см) -площадь квадратного дна коробки
3) 100кв.см = 10см х 10см
Значит, размер коробки может быть 10 х 10см и высотой 40см