Вот пришло в голову решение :) Так-то задачка ерундовая :) Я продлеваю перпендикуляры HK и HM за точку H до пересечения с BA в точке A1 и BC в точке C1 (ну, точки лежат на продолжениях... из за того, что ∠ABC острый, эти точки есть и лежат где положено :) ) Для треугольника A1BC1 H - точка пересечения высот (ну двух-то точно :) - A1M и C1K), поэтому A1C1 перпендикулярно BH, и, следовательно, параллельно AC; то есть ∠BAC = ∠BA1C; Точки K и M лежат на окружности, построенной на A1C1, как на диаметре, поэтому ∠BA1C + ∠KMC = 180°; как противоположные углы вписанного четырехугольника. Или, что же самое, ∠BA1C = ∠BMK; следовательно ∠BAC = ∠BMK; и треугольники ABC и BMK имеют равные углы. То есть, подобны.
Следствие, которое важнее задачи :) Четырехугольник AKMC - вписанный. То есть через эти 4 точки можно провести окружность.
Дополнение. Тривиальный решения тут такой. ∠KHB = ∠A; ∠MHB = ∠C; BK = BH*sin(A) = BC*sin(C)*sin(A); BM = BH*sin(C) = BA*sin(A)*sin(C); То есть у треугольников ABC и MBK угол B общий, и стороны общего угла пропорциональны BM/BA = BK/BC = sin(A)*sin(B); значит треугольники подобны. коэффициент подобия sin(A)*sin(C), что тоже полезное следствие.
1) Так как треугольник ВАМ (расстояние между В и М соединяем линией) прямоугольный, воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения МВ;
МВ²=МА²+АВ²
МВ²=1²+3²
МВ=√10 см
2) ∆МАД также прямоугольный, так что повторяем предыдущие шаги:
МД²=1²+4²
МД=√17 см
(Напоминаю, что длина и расстояние – одно и то же).
3) Диагонали ромба в точке пересечения делятся на двое, так что АД=АС=4 см.
4) По теореме Пифагора ВД²=ВА²+АД²;
ВД²=3²+4²
ВД=√25=5 см
(Диагонали ромба в точке пересечения создают прямой угол).
5) В 3-ем пункте мы нашли отрезок АС, так что теперь приступаем к теореме Пифагора:
МС²=1²+4²
МС=√17 см.
6) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов деленое на два.
Так что S ∆mac = 4×1÷2 = 2 см²