Question

Даны вершины трапеции A(-2;-3) B(-3;1) C (7;7) D(3;0). Напишите уравнение средней линии трапеции

Answer 1

Чтобы найти уравнение средней линии трапеции, нужно найти среднюю точку каждой стороны трапеции и использовать эти точки для нахождения уравнения средней линии.

1. Найдем координаты средних точек каждой стороны трапеции:
Средняя точка стороны AB: ((-2 + (-3))/2, (-3 + 1)/2) = (-2.5, -1)
Средняя точка стороны BC: ((-3 + 7)/2, (1 + 7)/2) = (2, 4)
Средняя точка стороны CD: ((-2 + 3)/2, (-3 + 0)/2) = (0.5, -1.5)
Средняя точка стороны DA: ((7 + 3)/2, (7 + 0)/2) = (5, 3.5)

2. Теперь, мы можем использовать координаты средних точек двух противоположных сторон треугольника, чтобы найти уравнение средней линии. Для этого воспользуемся формулой нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2):

Уравнение прямой: y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)

Для стороны AB и BC:
Уравнение прямой AB: y - (-1) = (4 - (-1))/(2 - (-2.5)) * (x - (-2.5))
Упрощаем: y + 1 = 5/4 * (x + 2.5)

Для стороны BC и CD:
Уравнение прямой BC: y - 4 = (-1.5 - 4)/(0.5 - 2) * (x - 2)
Упрощаем: y - 4 = (-5.5)/(-1.5) * (x - 2)

Для стороны CD и DA:
Уравнение прямой CD: y - (-1.5) = (3.5 - (-1.5))/(5 - 0.5) * (x - 0.5)
Упрощаем: y + 1.5 = 5/4 * (x - 0.5)

3. Получаем уравнения трех прямых, проходящих через стороны трапеции.
Уравнение AB: y + 1 = 5/4 * (x + 2.5)
Уравнение BC: y - 4 = (-5.5)/(-1.5) * (x - 2)
Уравнение CD: y + 1.5 = 5/4 * (x - 0.5)

4. Чтобы найти уравнение средней линии, нужно найти среднее арифметическое значение всех коэффициентов при x и при y в уравнениях прямых AB, BC и CD.
Коэффициенты при x в уравнениях: 5/4, (-5.5)/(-1.5), 5/4
Коэффициенты при y в уравнениях: 1, -4, 1.5

Средний коэффициент при x: (5/4 - 5.5/-1.5 + 5/4)/3 = (10/8 + 3.6667 + 10/8)/3 = 1.354
Средний коэффициент при y: (1 - 4 + 1.5)/3 = -1.5/3 = -0.5

5. Используя полученные средние коэффициенты и одну из средних точек, например, (2, 4) (из уравнения BC), можем записать уравнение средней линии:
Уравнение средней линии: y - 4 = -0.5 * (x - 2)

Таким образом, уравнение средней линии трапеции будет:
y - 4 = -0.5 * (x - 2)