заменим для удобства n+1=m
n³+(n+1)³ + (n+2)³=(m-1)³+m³+(m+1)³=
=m³ +(m-1+m+1)((m-1)²-(m-1)(m+1)+(m+1)²)=
= m³+2m( m²-2m+1- m²+1+ m²+2m+1)=
=m³+2m (m²+3)= 3m³+6m=3m (m²+2)
чтобы доказать , что 3m (m²+2) делится на 9, мы докажем, что выражение m(m²+2) делится на 3
используем мат.индукцию:
1) при m=2
m(m²+2)=2•(2²+2)=3•6=18 делится на 6
2) теперь при m=k
k(k²+2) делится на 3
3) докажем равенство при m=k+1
(k+1)((k+1)²+2)=((k+1)³+2k+2)= k³+3k²+3k+1+2k+2=
=k³+3k²+5k+3= k(k²+2)+ 3(k²+k+1)
первое слагаемое делится на три, второе тоже, значит (k+1)((k+1)²+2) делится на 3
А это значит, что по матиндукции
мы доказали, что m(m²+2) делится на 3 , при целых m≥2
а это означает, что 3m (m²+2) делится на 9
то есть (m-1)³+m³+(m+1)³ делится на 9 при целых m≥2
а это значит:
n³+(n+1)³ + (n+2)³ делится на 9 при натуральных n
пусть n кратно 3, т.е. равно 3k. Тогда
(3k+1)^3 + (3k+2)^3=(3k+3)*((3k+1)^2+(3k+2)^2-(3k+1)*(3k+2))
Легко видеть, что *((3k+1)^2+(3k+2)^2-(3k+1)*(3k+2))делится на 3. Если раскрыть скобки единственное слагаемое не содержащее множителя 3k
равно 1+4-2=3.
также можно рассмотреть n+1=3k и n+2=3k
Если n+1=3k n=3k-1 n+2=3k+1
Такое же как и в предыдущем случае слагаемое
равно 1+4+1=6
Если n+2=3k n=3k-2 n+1=3k-1
Такое же как и в предыдущих случае слагаемое
4+1-2=3
Но так мы рассмотрели все возможные случаи.