Question

3. Пусть f : A → B и g : A → B. Докажите, что f ∪ g : A → B тогда и только тогда, когда f = g. 4. Пусть f : A → B и g : B → C. Докажите, что если g ◦ f инъекция, то f тоже инъекция.

Answer 1

3. Чтобы доказать, что f ∪ g : A → B тогда и только тогда, когда f = g, мы рассмотрим оба направления импликации.

Доказательство вперед: Предположим, что f ∪ g : A → B. По определению объединения функций, любой элемент x из множества A должен иметь одно и только одно значение в обоих функциях f и g. Если бы f и g были разными функциями, то для некоторого элемента x из A значения f(x) и g(x) также были бы разными. Это противоречит предположению, что f ∪ g : A → B. Следовательно, f и g должны быть одинаковыми функциями.

Доказательство назад: Предположим, что f = g. Для любого элемента x из A f(x) и g(x) будут иметь одно и то же значение, так как f и g теперь одинаковы. Следовательно, f ∪ g также будет иметь одно и то же значение для каждого элемента x из A. Значит, f ∪ g : A → B.

Таким образом, мы доказали оба направления импликации, и поэтому f ∪ g : A → B тогда и только тогда, когда f = g.

4. Чтобы доказать, что если g ◦ f инъекция, то f тоже инъекция, мы воспользуемся прямым доказательством.

Предположим, что g ◦ f инъекция. Это означает, что для любых элементов x1 и x2 из множества A, если f(x1) = f(x2), то x1 = x2. Докажем, что f тоже инъекция.

Предположим, что для некоторых элементов y1 и y2 из множества B, f(y1) = f(y2) и y1 ≠ y2. Поскольку f(y1) = f(y2), заменим y1 на x1 и y2 на x2. Теперь у нас есть f(x1) = f(x2) и x1 ≠ x2.

Применим композицию функций g ◦ f к обеим сторонам этого равенства. Получим g(f(x1)) = g(f(x2)). Так как g ◦ f инъекция, получаем, что x1 = x2.

Это противоречит предположению, что x1 ≠ x2. Следовательно, предположение о наличии элементов y1 и y2, для которых f(y1) = f(y2) и y1 ≠ y2, неверно.

Таким образом, мы доказали, что если g ◦ f инъекция, то f тоже инъекция.