Найди периметр треугольника MNKMNK , если окружность, вписанная в этот треугольник, касается его сторон в точках SS , DD и FF , при этом MS = 13,5MS=13,5 , ND = 15,7ND=15,7 , KF = 23,1KF=23,1 .
Для решения данной задачи, нам потребуется знание о свойствах вписанных окружностей и о формуле для нахождения периметра треугольника.
1. Сначала, заметим, что точки касания окружности с треугольником SS , DD и FF делят его стороны на равные отрезки. Обозначим точку касания окружности со стороной MN как A, с стороной MK как B, и с стороной NK как C.
2. Так как отрезки SA и SB равны, то по свойству касательных длина отрезка SA равна длине отрезка SB. Аналогично, длины отрезков SD, SC, FD и FC также равны.
3. Поскольку мы знаем длины сторон MS, ND и KF, мы можем вычислить длины отрезков MA, NB и KC.
4. Обозначим длину отрезка MA через x. Тогда длина отрезка SA равна x+13.5 (поскольку SA = MA + MS = x + 13.5). С другой стороны, длина отрезка SB равна x+23.1 (поскольку SB = MC + KF = MC + 23.1). Отсюда получаем уравнение:
x + 13.5 = x + 23.1
Отсюда выражаем x:
x = 23.1 - 13.5 = 9.6
Таким же образом, можно найти длины отрезков NB и KC:
NB = ND - 15.7 = 15.7 - 9.6 = 6.1
KC = KF - 23.1 = 23.1 - 9.6 = 13.5
5. Теперь, чтобы найти периметр треугольника MNKMNK, нужно сложить длины его сторон:
Периметр = MN + NK + KM
Но мы знаем, что MN = SA + SB = (x + 13.5) + (x + 23.1) и NK = NB + KC = 6.1 + 13.5. Подставим значения и произведём вычисления:
MN = (9.6 + 13.5) + (9.6 + 23.1) = 23.1 + 32.7 = 55.8
NK = 6.1 + 13.5 = 19.6
Тогда:
Периметр = MN + NK + KM = 55.8 + 19.6 + 15.7 = 91.1
Итак, периметр треугольника MNK составляет 91.1.
