Для решения вопроса о нахождении общего вида первообразной для данных функций, мы будем использовать методы интегрирования и известные формулы интегралов.
1. Для функции f(x) = x^3 - 2/sqrt(x):
Для начала разобьём данную функцию на два слагаемых:
f(x) = x^3 - 2/x^(1/2)
Мы знаем, что первообразной для функции x^n является функция F(x), такая что F'(x) = x^n. Используя этот факт, мы интегрируем каждое слагаемое отдельно. Давайте начнем с первого слагаемого x^3.
Интеграл от x^3 dx:
Мы знаем формулу для интегрирования x^n, где n ≠ -1:
∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,
где C – константа интегрирования.
Применяем эту формулу к нашему первому слагаемому:
∫ x^3 dx = (x^(3+1))/(3+1) + C = (x^4)/4 + C1.
Теперь рассмотрим второе слагаемое -2/x^(1/2):
Используем формулу ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1:
Теперь объединим полученные результаты и получим общий вид первообразной для функции f(x):
∫ f(x) dx = (x^4)/4 - 2x^(1/2) + C,
где C = C1 + C2 – константа интегрирования.
2. Для функции f(x) = 2cos(x) - 1/sin^2(x):
На данный момент, нет прямой формулы для интегрирования функции типа cos(x) или sin^2(x). Однако, мы можем воспользоваться различными интегральными свойствами и получить ответ.
Рассмотрим первое слагаемое 2cos(x):
Известно, что интеграл от cos(x) dx равен sin(x) + C, где C – константа интегрирования.
∫ 2cos(x) dx = 2∫ cos(x) dx = 2(sin(x)) + C1.
Теперь рассмотрим второе слагаемое -1/sin^2(x):
Мы знаем, что интеграл от sin^2(x) dx равен x/2 - sin(x)cos(x) + C, где C – константа интегрирования.
2lgrg][g,r]