Question

Буду благодарен если дана прямоугольная трапеция abcd в которой ad параллельно bc, угол abc = 90 градусов, adc 30 градусов, ac = 4 cm. диагональ ac перпендикулярна стороне cd. найти площадь этой трапеции

Answer 1

Площадь трапеции равна 10√3 см².

Пошаговое объяснение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD , AD║BC , ∠ADC =30°,

AC =4 cм  и  диагональ АС перепендикулярна боковой стороне

AC ⊥ CD.

Так как  диагональ АС перепендикулярна боковой стороне CD , то

Δ ACD - прямоугольный и ∠ADC =30°. По свойству катета, лежащего напротив угла в 30° , гипотенуза AD в 2 раза больше катета АС.$AD =2\cdot4 =8$ см.

Воспользуемся теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Найдем боковую сторону трапеции, как катет прямоугольного треугольника  Δ ACD .

$CD ^{2} =AD^{2} -AC ^{2} ;\\CD =\sqrt{AD^{2} -AC ^{2}} ;\\CD = \sqrt{8^{2} -4^{2} }=\sqrt{(8-4)(8+4)} =\sqrt{4\cdot12} =\sqrt{4\cdot4 \cdot3} =4\sqrt{3}$ см.

Найдем высоту прямоугольного треугольника СН , она является и высотой  трапеции.

Для того чтобы найти высоту прямоугольного треугольника, проведенную к гипотенузе, надо произведение катетов разделить на гипотенузу .

$CH = \dfrac{AC \cdot CD }{AD} ;CH = \dfrac{4 \cdot 4\sqrt{3} }{8}=\dfrac{16\sqrt{3} }{8} =2\sqrt{3}$ см .

Или СН  - это в Δ СНD катет, лежащий напротив угла в 30 ° и  

$CH= \dfrac{1}{2} CD ;\\CH= \dfrac{1}{2} \cdot4\sqrt{3} =2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим Δ АВС - прямоугольный, АВ = СН =2√3 см. Найдем катет ВС  по теореме Пифагора .

$BC ^{2} =AC^{2} -AB ^{2} ;\\BC= \sqrt{AC^{2} -AB ^{2} } ;\\BC= \sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3)^{2} } } =\sqrt{16-12} =\sqrt{4} =2$

Найдем площадь трапеции как произведение полусуммы оснований на высоту трапеции.

$S=\dfrac{BC+AD}{2} \cdot CH;S=\dfrac{2+8}{2} \cdot 2\sqrt{3} =5\cdot2\sqrt{3} =10\sqrt{3}$

Площадь трапеции равна 10√3 см².

#SPJ1