Хорошо! Для решения этой задачи, нам необходимо найти наилучшие значения функции z в заданной области x∈[0; 4], y∈[0; 4]. Давайте разобъем эту задачу на несколько шагов:
Шаг 1: Найдем критические точки функции z(x, y). Критические точки - это точки, где градиент функции равен нулю или не определен.
Для нашей функции z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27, возьмем ее частные производные по x и y и приравняем их нулю. Таким образом, получаем следующую систему уравнений:
Решая эту систему уравнений, найдем критические точки.
Из уравнения (1) получаем:
3x^2 - 9y = 0
3x^2 = 9y
x^2 = 3y
x = ± sqrt(3y) ---------(3)
Из уравнения (2) получаем:
3y^2 - 9x = 0
3y^2 = 9x
y^2 = 3x
y = ± sqrt(3x) ---------(4)
Теперь у нас есть две пары уравнений (3) и (4), которые определяют наши критические точки.
Шаг 2: Определяем значения x и y в заданных интервалах. У нас есть x ∈ [0; 4] и y ∈ [0; 4].
Мы можем заметить, что x и y не могут быть отрицательными числами, так как они возводятся в квадрат. Таким образом, нам остается проверить только положительные значения x и y.
Шаг 3: Подставляем значения критических точек в функцию z и находим значения функции z.
Подставим значения критических точек в функцию z(x, y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27 и найдем соответствующие значения функции z:
a) Подставление точки x = sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * sqrt(3y) * y + 27
z = 3y*sqrt(3y) + y^3 - 9y*sqrt(3y) + 27
z = -6y*sqrt(3y) + 3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
b) Подставление точки x = -sqrt(3y) в функцию z(x, y):
z = (-sqrt(3y))^3 + y^3 - 9 * -sqrt(3y) * y + 27
z = -3y*sqrt(3y) + y^3 + 27
c) Подставление точки y = sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (sqrt(3x))^3 - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 + 3x*sqrt(3x) - 9x * sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
d) Подставление точки y = -sqrt(3x) в функцию z(x, y):
z = x^3 + (-sqrt(3x))^3 - 9x * -sqrt(3x) + 27
z = x^3 - 6x*sqrt(3x) + 27
Шаг 4: Находим максимальное и минимальное значение функции z.
Теперь осталось найти максимальное и минимальное значение функции z(x, y) в заданной области x ∈ [0; 4], y ∈ [0; 4]. Для этого подставим значения x и y из заданных интервалов в выражения, найденные на предыдущем шаге, и найдем соответствующие значения функции z.
Заметим, что функция z только включает положительные степени x и y, и следовательно, будет монотонно возрастающей по отношению к x и y. Это означает, что минимальное значение функции будет достигаться в точке (0, 0), а максимальное значение - в точке (4, 4).
Таким образом, наименьшее значение функции z равно:
z(0, 0) = 0^3 + 0^3 - 9 * 0 * 0 + 27
z(0, 0) = 0 + 0 - 0 + 27
z(0, 0) = 27
1. Для нахождения закона распределения случайной величины х, которая представляет собой количество дублей извлеченных костяшек, нам нужно найти все возможные значения х и их вероятности.
Извлекаемые костяшки - это выборка без возвращения, то есть после каждого извлечения количество оставшихся костяшек уменьшается. Так как всего в наборе 28 костей, первую костяшку можно выбрать из 28, вторую - из 27, а третью - из 26. Всего возможных комбинаций извлечения 3 костяшек будет 28*27*26.
Теперь нужно определить, какие комбинации из 3 костяшек будут содержать дубли. Есть 7 дублей в наборе домино, поэтому количество комбинаций с 3 дублями будет равно C(7,3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 35.
Значит, вероятность того, что в выборке из 3 костяшек будет x дублей, будет равна числу комбинаций с x дублями (C(7, x)) поделить на общее количество комбинаций извлечения 3 костяшек (28*27*26). Для каждого значения x мы можем вычислить эту вероятность:
Ожидание случайной величины х (E(x)) можно найти, умножая каждое возможное значение х на его соответствующую вероятность и складывая полученные произведения:
Дисперсию случайной величины х (D(x)) можно найти, используя формулу:
D(x) = E(x^2) - (E(x))^2
Мы сначала найдем E(x^2), затем подставим его значение в формулу для D(x).
Интегральная функция распределения случайной величины х (F(x)) показывает вероятность того, что случайная величина х будет меньше или равна определенному значению x. Мы можем найти эту функцию, используя закон распределения и суммируя вероятности для всех значений х от 0 до x.
2. Для нахождения вероятности P(0 <= x <= 3), где х - непрерывная случайная величина с нормальным законом распределения, используется таблица нормального распределения или стандартное нормальное распределение. Так как в данном случае ожидание (a) равно 2, а среднеквадратическое отклонение (σ) равно 4, мы можем стандартизировать нашу случайную величину, используя формулу стандартного нормального распределения z = (x - a) / σ.
Так как нам нужно найти вероятность P(0 <= x <= 3), мы можем стандартизировать оба конца интервала:
z1 = (0 - 2) / 4
z2 = (3 - 2) / 4
Затем мы можем использовать таблицу или график стандартного нормального распределения, чтобы найти соответствующие значения нормализованной случайной величины z1 и z2. Эти значения представляют вероятности, так как интегральная функция распределения случайной величины х в случае нормального распределения может быть представлена на графике гаусса.
Для нахождения вероятности P(|х-2| <= 2), мы можем разделить этот интервал на два меньших интервала: P(0 <= x <= 4) и P(1 <= x <= 3), так как |х-2| <= 2 эквивалентно двум условиям: 0 <= x <= 4 и 1 <= x <= 3.
Теперь мы можем стандартизировать оба конца каждого из двух интервалов, используя формулу z = (x - a) / σ, и использовать таблицу стандартного нормального распределения, чтобы найти соответствующие значения нормализованной случайной величины для каждого интервала. Затем мы можем сложить найденные вероятности для этих двух интервалов, чтобы получить искомое значение P(|х-2| <= 2).
Итак, в целом, вам необходимо выполнить ряд математических вычислений, используя формулы и таблицы, чтобы получить закон распределения, ожидание, дисперсию и интегральную функцию распределения случайной величины х, а также вероятности для нормального распределения указанных интервалов.
Відповідь:
23
Покрокове пояснення: