Question

Большая сторона прямоугольника АВСД равна 20. Расстояние от вершины В до диагонали АС равно 12 найдите площадь прямоугольника

Answer 1

Площадь прямоугольника АВСD равна 320 ед²

Пошаговое объяснение:

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину:

S = AB*BC

ВН⊥АС, ВН - Расстояние от вершины В до диагонали АС. ВН = 12.

1) ΔВНС (∠Н=90°)

По теореме Пифагора находим катет НС:

НС² = ВС²-ВН²=20²-12²=400-144=256

НС=√256 = 16 ед

2) ΔАВС (∠В=90°)

Высота, которую провели из прямого угла на гипотенузу треугольника, численно равна среднему геометрическому проекций обоих катетов на эту гипотенузу:

ВН²=АН*НС

$AH=\dfrac{BH^{2} }{HC} =\dfrac{12^{2} }{16} =\dfrac{144}{16} = 9$   ед

Тогда АС= АН+НС = 9+16 = 25 ед

3) По теореме Пифагора находим катет АВ в прямоугольном ΔАВС:

АВ² = АС²-ВС² = 25²-20² = 625-400 = 225

АВ = √225 = 15 ед

4) Площадь АВСD:

S = 15*20 = 320 ед

Answer 2

300.

Пошаговое объяснение:

Пусть ВС = 20 - большая сторона прямоугольника АВСД, тогда АВ - меньшая сторона.
Обозначим ВК = 12 -  расстояние от вершины В до диагонали АС .
ΔВСК - прямоугольный с гипотенузой ВС и катетами ВК м СК.
найдём СК, используя теорему Пифагора:

$CK = \sqrt{BC^2 - BK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} =16.$

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: ΔВСК и ΔАВК.
Эти треугольники подобны, так как ∠ВСК = ∠АВК как углы с взаимно перпендикулярными сторонами (ВС ⊥ АВ и АК ⊥ ВК).
В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональна, поэтому

$\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{CK}{BK}$

$\dfrac{20}{AB} = \dfrac{16}{12}$
АВ · 16 = 20 · 12
16 АВ = 240
АВ = 240 : 16
АВ = 15.

Площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон:
S = AB · BC = 15 · 20 = 300.