Question

Даны множества A = {(x, y)| x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} и
B = {(x, y)| x − y = 2, x, y ∈ R}. Определите
множество A ∩ B.

Answer 1

Множество A ∩ B состоит из двух точек (0, -2) и (2, 0); A ∩ B = {(0, -2), (2, 0)}

Пошаговое объяснение:

Пересечение двух множеств A и B (обозначается A ∩ B) образуют элементы, которые входят в A и в B одновременно.

Поскольку в первое множество входят все пары чисел (x, y), удовлетворяющие условию x² + y² = 4, а во второе — условию x - y = 2, то A ∩ B — все пары (x, y), удовлетворяющие системе из двух уравнений

$\begin{cases}x^2+y^2=4\\x-y=2\end{cases}$

Остаётся решить эту систему уравнений. Это можно сделать графически или аналитически.

Аналитическое решение

Возведём второе уравнение в квадрат (получится x² - 2xy + y² = 4) и вычтем полученное из первого уравнения.

Тогда 2xy = 0, откуда x = 0 или y = 0.

Если x = 0, то, поскольку x - y = 2, y = x - 2 = 0 - 2 = -2; (0, -2) — первая точка, входящая в пересечение.

Если y = 0, то x = y + 2 = 2; (2; 0) —  вторая точка.

Графическое решение

Первое уравнение системы (его удобно переписать в виде x² + y² = 2²) задаёт на плоскости Oxy окружность с центром в начале координат и радиусом 2.

Второе уравнение задаёт прямую, для построения которой достаточно знать две точки. Подойдут, например, (0, -2) и (2, 0).

Пересечение множеств, которые заданы линиями на плоскости, — просто пересечение этих линий.

Окружность и прямая пересекаются в двух точках (0, -2) и (2, 0). Эти точки и составляют искомое пересечение.