Question

Найдите наибольшее целое решение неравенства: (x-2)^2(x+4)^3/x+7 меньше или равно 0

Можно пошаговое решение

Answer 1

Відповідь:

х є (-7 ; -4] ∪ {2}

Покрокове пояснення:

$\frac{(x-2)^2(x+4)^3}{x+7} \leq 0$

Для того что бы решить данное неравенство, из вида $\frac{p}{q} \leq 0$ превратим в вид $p*q\leq 0,(q\neq 0)$

(х-2)²(х+4)³(х+7)≤0          (х+7)≠0

Для того, что бы решить такое неравенство, нужно сначала решить уравнение, и найти промежутки:

(х-2)²(х+4)³(х+7)=0  

(х-2)=0                     (х+4)=0                          (х+7)≠0

  х=2                           х=-4                               х≠-7

Три точки делают 4 промежутка, проверим каждый из них:

1) Из промежутка (-∞ ; -7) возьмем число -10

$\frac{(-10-2)^2(-10+4)^3}{-10+7} \leq 0\\\frac{(-12)^2(-6)^3}{-3} \leq 0\\\frac{144*(-216)}{-3} \leq 0$  

Неверно, так как минус на минус даст плюс, число > 0

2) Из промежутка (-7 ; -4) возьмем число -5

$\frac{(-5-2)^2(-5+4)^3}{-5+7} \leq 0\\\frac{(-7)^2(-1)^3}{2} \leq 0\\\frac{49*(-1)}{2} \leq 0\\-24,5\leq 0$Верно, промежуток подходит

3) Из промежутка (-4 ; 2) возьмем число 0

$\frac{(0-2)^2(0+4)^3}{0+7} \leq 0\\\frac{(-2)^2(4)^3}{7} \leq 0\\\frac{4*(64)}{7} \leq 0\\$Неверно, число  > 0, промежуток не подходит

4) Из промежутка (2 ; +∞) возьмем число 3

$\frac{(3-2)^2(3+4)^3}{3+7} \leq 0\\\frac{(1)^2(7)^3}{10} \leq 0\\\frac{1*(343)}{10} \leq 0\\34,3\leq 0$Неверно, число  > 0, промежуток не подходит

Тогда нам подойдет только промежуток (-7 ; -4) и 2 числа, 4 и 2, тогда ответ будет таким: х є (-7 ; -4] ∪ {2}