Question

В арифметической прогрессии шестой член (который был равен 45) увеличили на 15. В результате получилось, что четвертый, пятый и шестой члены получившейся последовательности образовали геометрическую прогрессию. Найти сумму этих трех членов новой последовательности с четвертого по шестой. В случае не единственности решения выбрать наименьшую из возможных сумм. Полученное значение записать в бланк ответов в десятичной форме записи. ответ:

Answer 1

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$

Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d. Выпишем ее 4, 5 и 6 члены:

$a_4;\ a_5;\ a_6$

Выразим четвертый и пятый члены через шестой:

$a_4=a_6-2d;\ a_5=a_6-d;\ a_6$

По условию известен шестой член:

$a_6=45$

Тогда имеем три последовательных члена арифметической прогрессии:

$a_4=45-2d;\ a_5=45-d;\ a_6=45$

По условию, если шестой член увеличить на 15, то выписанные числа будут составлять уже геометрическую прогрессию.

Таким образом, три последовательных члена геометрической прогрессии:

$b_1=45-2d;\ b_2=45-d;\ b_3=60$

Запишем для геометрической прогрессии характеристическое свойство:

$(45-d)^2=60(45-2d)$

Решаем уравнение:

$2025-90d+d^2=2700-120d$

$d^2+30d-675=0$

$D_1=15^2-1\cdot(-675)=900$

$d_1=-15-\sqrt{900} =-45$

$d_2=-15+\sqrt{900} =15$

Для первой ситуации с $d=-45$ получим:

$b_1=45-2\cdot(-45)=135$

$b_2=45-(-45)=90$

$b_3=60$

$b_1+b_2+b_3=135+90+60=285$

Для второй ситуации с $d=15$ получим:

$b_1=45-2\cdot15=15$

$b_2=45-15=30$

$b_3=60$

$b_1+b_2+b_3=15+30+60=105$

Наименьшая из возможных сумм равна 105.

ответ: 105