а) 4 решения при 2 < a < 4; б) 2 решения при a = 2 и a = 4; в) нет решений при 0 < a < 2 и a > 4.
Пошаговое объяснение:
Будем решать систему уравнений графически — изобразив решение каждого уравнения на чертеже.
Первое уравнение
Заметим, что уравнение переходит само в себя при замене местами x и y, а также при одновременной смене знаков x и y. Значит, достаточно изобразить решения уравнения только в отмеченной четверти, остальное получится отражениями.
В отмеченной четверти y ≥ 0, x + y ≥ 0, так что два из трёх модулей раскрываются без проблем: |y| = y, |x + y| = x + y. Остаётся рассмотреть два случая:
1) x ≥ 0, |x| = x
x + y + x + y = 4√2
x + y = 2√2
Это уравнение прямой, проходящей через точки (0, 2√2) и (2√2, 0)
2) x ≤ 0, |x| = -x
-x + y + x + y = 4√2
y = 2√2
Тут просто прямая, параллельная оси x
Отразив график относительно диагоналей, получаем кривую, изображённую на рисунке 2 красным цветом.
Второе уравнение. Сколько корней в зависимости от a?
x² + y² = a² — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом a.
Начнём постепенно увеличивать a:
- Сначала, пока радиус меньше радиуса синей окружности, корней (точек пересечения красной кривой с окружностью) нет.
- Когда радиус окружности равен радиусу синей окружности, 2 корня
- Когда окружность между синей и зелёной, будет 4 пересечения
- Для зеленой окружности есть только две точки пересечения
- Для радиусов, больших радиуса зелёной окружности, точек пересечения нет.
Осталось найти радиусы синей и зеленой окружности, чтобы решить задачу.
Синяя окружность
Можно пойти двумя путями — или найти условие касания x² + y² = a² и x + y = 2√2 "честно", или просто догадаться, что точка касания — это (√2, √2).
Подставляем точку касания в уравнение окружности и находим a:
2 + 2 = a²
a = 2
Зеленая окружность
Зелёной окружности принадлежит точка (-2√2, 2√2). Подставляем в уравнение окружности:
1) у=2х+1 у=2х-3 у=х+7 Эти линейные функции вида у=kx+b, где k-это угловой коэффициент, с его изменением будет меняться угол наклона прямой к оси Ох, значит, функции с одинаковыми угловыми коэффициентами будут параллельны друг другу. Отсюда параллельные функции: у=2х+1 и у=2х-3. Эти графики функций можно построить по двум точкам каждый. Находим точки: у=2х+1 х=0 у=2*0+1=0+1=1 (0;1) х=1 у=2*1+1=3 (1;3)
у=х+7 х=0 у=7 (0;7) х=2 у=2+7=9 (2;9) По этим точкам строим графики.
2) Поскольку графики прямые, два из которых параллельны, то эти 2 графика будут пересекать третий, т.е. у=2х+1 и у=2х-3 будут пересекать график у=х+3, а график у=х+7 пересекать его не будет, т.к. он с тем же угловым коэффициентом. Для нахождения координат пересечения приравняем функции: 2х+1=х+3 2х-х=3-1 х=2 у=2+3=5 координата пересечения (2;5)
2х-3=х+3 2х-х=3+3 х=6 у=6+3=9 (6;9) Графики в файле...
Попробуем разными найти кол-во детей. Если раздавать по 5, то не хватит 3 мандаринов ⇒ если добавить 3 мандарина, то всё будет как раз идеально. Пусть мандаринов было x. Тогда детей было (x+3)/5. Другим можно получить, что если раздавать по 4, то останется 17 мандаринов ⇒ если бы их было на 17 меньше, то всем бы идеально раздали по 4. Тогда детей было (x-17)/4. Мы дважды нашли кол-ва детей, соответственно можем их приравнять. Получаем уравнение: = Не буду прописывать всё решение, в результате получаем, что x = 97. Это и есть искомое число; проверим его. Если подставить 97 в любую из полученных дробей, мы узнаем кол-во детей. Например: Если раздавать 20 детям 97 мандаринов по 5, то одному не хватит 3 мандаринов, а если по 4, то мы потратим всего 80, ⇒ 17 останутся лишними. вроде так
а) 4 решения при 2 < a < 4; б) 2 решения при a = 2 и a = 4; в) нет решений при 0 < a < 2 и a > 4.
Пошаговое объяснение:
Будем решать систему уравнений графически — изобразив решение каждого уравнения на чертеже.
Первое уравнениеЗаметим, что уравнение переходит само в себя при замене местами x и y, а также при одновременной смене знаков x и y. Значит, достаточно изобразить решения уравнения только в отмеченной четверти, остальное получится отражениями.
В отмеченной четверти y ≥ 0, x + y ≥ 0, так что два из трёх модулей раскрываются без проблем: |y| = y, |x + y| = x + y. Остаётся рассмотреть два случая:
1) x ≥ 0, |x| = x
x + y + x + y = 4√2
x + y = 2√2
Это уравнение прямой, проходящей через точки (0, 2√2) и (2√2, 0)
2) x ≤ 0, |x| = -x
-x + y + x + y = 4√2
y = 2√2
Тут просто прямая, параллельная оси x
Отразив график относительно диагоналей, получаем кривую, изображённую на рисунке 2 красным цветом.
Второе уравнение. Сколько корней в зависимости от a?x² + y² = a² — уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом a.
Начнём постепенно увеличивать a:
- Сначала, пока радиус меньше радиуса синей окружности, корней (точек пересечения красной кривой с окружностью) нет.
- Когда радиус окружности равен радиусу синей окружности, 2 корня
- Когда окружность между синей и зелёной, будет 4 пересечения
- Для зеленой окружности есть только две точки пересечения
- Для радиусов, больших радиуса зелёной окружности, точек пересечения нет.
Осталось найти радиусы синей и зеленой окружности, чтобы решить задачу.
Синяя окружность
Можно пойти двумя путями — или найти условие касания x² + y² = a² и x + y = 2√2 "честно", или просто догадаться, что точка касания — это (√2, √2).
Подставляем точку касания в уравнение окружности и находим a:
2 + 2 = a²
a = 2
Зеленая окружность
Зелёной окружности принадлежит точка (-2√2, 2√2). Подставляем в уравнение окружности:
8 + 8 = a²
a = 4