Question

Log1/2(x)+log1/2(10-x)>=-1+log1/2(4,5)

Answer 1

$\displaystyle\bf\\ODZ:left \{ {{x 0} \atop {10-x 0}} \right. \ \ \Rightarrow \ \ \left \{ {{x 0} \atop {x < 10}} \right. \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in\Big(0 \ ; \ 10\Big)log_{\frac{1}{2} } x+\log_{\frac{1}{2} } (10-x)\geq -1+\log_{\frac{1}{2} } 4,5log_{\frac{1}{2} } x+\log_{\frac{1}{2} } (10-x)\geq \log_{\frac{1}{2} } 4,5-\log_{\frac{1}{2} } \frac{1}{2} log_{\frac{1}{2} } \Big[x\cdot (10-x)\Big]\geq \log_{\frac{1}{2} } \frac{4,5}{0,5}$

$\displaystyle\bf\\\log_{\frac{1}{2} } \Big[x\cdot (10-x)\Big]\geq \log_{\frac{1}{2} } 90 < \frac{1}{2} < 1 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\cdot(10-x)\leq 9-x^{2} +10x-9\leq 0x^{2} -10x+9\geq 0(x-1)(x-9)\geq 0+ + + + + [1] - - - - - [9] + + + + + x\in\Big(-\infty \ ; \ 1\Big] \ \cup \ \Big[9 \ ; \ \infty \Big)$

С учётом ОДЗ окончательный ответ :

$\displaystyle\bf\\\boxed{x\in\Big(0 \ ; \ 1\Big] \ \cup \ \Big[9 \ ; \ 10\Big)}$

Answer 2

хє (0;1) U [9;10)

Пошаговое объяснение:

log½(x)+log½(10-x) ≥ -1+log½(4,5)

ОДЗ: х≤0

упрощаем выражение

log½ (x×(10-x) ≥ -1+log½(4,5)

log½(10x-x²) ≥ -1+log½(9/5)

log½(10x-x²) ≥ -1+log2-¹(4,5)

log½(10x-x²) ≥ -1-log2¹(4,5)

log½(10x-x²) ≥ -1-(log2(9)-log2(2)) (log2(2)=1)

log½(10x-x²) ≥ -1-log2(9+1)

log½(10x-x²) ≥ -log2(9)

log½(10x-x²) ≥ -log2(3²)

log½(10x-x²) ≥ -2log2(3)

при 0<а<1, выражение loga(x)≥b равносильно х≤а в степени b

10x-x²≤(½) в степени -2log2(3)

10x-x²≤ (2 в степени -1) и в степени -2log2(3)

10x-x²≤ 2 в степени 2log2(3)

10x-x²≤ 2 в степени log2(3²)

10x-x²≤ 3²

10x-x²≤ 9

10x-x²-9≤0

-x²+10x-9≤0

-x²+9x-x-9≤0

-x×(x-9)+x-9

(x-9)×(-x+1)≤0

{x-9≤0 {x-9≥0 {x≤9 {x≥9

{-x+1≥0 {-x+1≤0 {x≤1 {x≥1

xє (-∞;1] U [9;+∞), xє (0;10)

хє (0;1) U [9;10)