Question

В треугольнике MNK MN=10cм, NK=20см, угол N равен 98 градусов Надо найти:
1. длину стороны MK
2. углы M и K
3. площадь треугольника MNK
4. периметр тр-ка MNK
5. длину высоты NS

Answer 1

$1.\ 23{,}6.\\2.\ 57^\circ,\, 25^\circ;\\3.\ 99;\\ 4.\ 53{,}6\\ 5.\ 8{,}4$

Пошаговое объяснение:

1) По теореме косинусов из треугольника $MNK$

$M{K^2} = M{N^2} + N{K^2} - 2MN \cdot NK\cos \angle MNK;$

$M{K^2} = {10^2} + {20^2} - 2 \cdot 10 \cdot 20\cos 98^\circ ;$

$M{K^2} = 100 + 400 - 400\cos 98^\circ ;$

$M{K^2} = 500 - 400\cos 98^\circ ;$

$MK = \sqrt {100(5 - 4\cos 98^\circ )} ;$

$MK = 10\sqrt {5 - 4\cos 98^\circ } .$

Вычисляем найденное значение приблизительно с калькулятора. Тут и далее будем округлять значения тригонометрических функций до сотых, сторон — до десятых, углов — до единиц.

$\cos 98^\circ \approx - 0{,}14,$

тогда

$5 - 4\cos 98^\circ \approx 5 - 4 \cdot ( - 0{,}14) = 5 + 0{,}56 = 5{,}56;$

$\[MK \approx 10\sqrt {5{,}56} \approx 10 \cdot 2{,}36 = 23{,}6.\]$

2) По теореме синусов

$\displaystyle\frac{a}{{\sin \alpha }} = \displaystyle\frac{b}{{\sin \beta }} = \displaystyle\frac{c}{{\sin \gamma }}$

найдем синусы одного из недостающих углов, а значит и сам этот угол.

$\displaystyle\frac{{MK}}{{\sin \angle N}} = \displaystyle\frac{{NK}}{{\sin \angle M}};$

$\displaystyle\frac{{23{,}6}}{{\sin 98^\circ }} = \displaystyle\frac{{20}}{{\sin \angle M}},$

откуда

$\sin \angle M = \displaystyle\frac{{20\sin 98^\circ }}{{23{,}6}} \approx \displaystyle\frac{{20 \cdot 0{,}99}}{{23{,}6}} \approx 0{,}84,\ \angle M \approx 57^\circ ;$

Тогда третий угол

$\angle K \approx 180^\circ - (98^\circ + 57^\circ ) = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ .$

3) Площадь треугольника найдем по формуле $S = \displaystyle\frac{1}{2}ab\sin \gamma .$

$S = \displaystyle\frac{{MN \cdot KN}}{2}\sin 98^\circ \approx \displaystyle\frac{{10 \cdot 20}}{2} \cdot 0{,}99 = 99.$

4) ${P_{MNK}} = MN + NK + MK \approx 10 + 20 + 23{,}6 = 53{,}6.$

5)  Длину высоты найдем через площадь. Так как $S = \displaystyle\frac{1}{2}ah,$ то $h = \displaystyle\frac{{2S}}{a}.$

$NS = \displaystyle\frac{{2S}}{{MK}} \approx \displaystyle\frac{{2 \cdot 99}}{{23{,}6}} \approx 8{,}4.$