Question

Сколько всего двухзначных чисел у которых только 4 делителя

Answer 1

Всего существует 31 двузначное число, у которых только четыре делителя

Пошаговое объяснение:

Если число n раскладывается на простые множители как $n_1^{{k_1}}n_2^{{k_2}} \ldots n_m^{{k_m}},$ то каждый $i$-й множитель $(1 \le i \le m)$ может либо не присутствовать в делителе (входить в него в степени 0), либо присутствовать в любой из степеней от $1$ до ${k_i}.$ Таким образом, для каждого множителя есть ${k_i} + 1$ вариант входить в состав делителя. Тогда по правилу произведения общее количество делителей числа $n$ равно

$({k_1} + 1)({k_2} + 1) \ldots ({k_m} + 1).$

Так как $\[4 = 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2,\]$ приходим к выводу, что либо наше число состоит из одного простого делителя степени 3 $(\[{k_1} + 1 = 4),\]$ либо из двух разных простых делителей, каждый из которых входит в первой степени $({k_1} + 1 = 2,\ {k_2} + 1 = 2).$

1) Среди двузначных чисел есть только два подходящих куба: $27 = {3^3}$ и $64 = {4^3}.$

2) Для нахождения чисел, состоящих из двух множителей, достаточно перебрать все пары, где первый из них — число, меньшее $\sqrt {100} = 10,$ т. е. 2, 3, 5 и 7. Иначе если первый делитель $d$ — число, большее или равное 10, то второй — $\frac{n}{d}$ уже меньше или равен 10.

Если первый из простых множителей 2, то второй — любое просто число в промежутке от 5 до 49: $\{5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47\}$ — 13 чисел.

Если первый из простых множителей 3, то второй — любое простое число в промежутке от 4 до 33: $\{5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31\}$ — 9 чисел.

Если первый из простых множителей 5, то второй — любое простое число в промежутке от 6 до 19: $\{7, 11, 13, 17, 19\}$ — 5 чисел.

Если первый из простых множителей 7, то второй — любое простое число в промежутке от 8 до 14: $\{11, 13\}$ — 2 числа.

Всего $13 + 9 + 5 + 2 = 29$ чисел.

Значит среди двузначных чисел $29 + 2 = 31$ число имеет 4 делителя.