Question

(X+1)(x+2)(x+3)(x+4)=25
Найдите сумму корней

Answer 1

Відповідь: -5

Розв'язання завдання додаю

Answer 2

Сумма корней равна –5

Пошаговое объяснение:

Перемножим между собой первую и последнюю, вторую и третью скобки:

$(x + 1)(x + 4) = {x^2} + 5x + 4;(x + 2)(x + 3) = {x^2} + 5x + 6.$

Тогда

$(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 25;({x^2} + 5x + 4)({x^2} + 5x + 6) = 25.$

Сделаем замену ${x^2} + 5x + 5 = t$.

$(t - 1)(t + 1) = 25;{t^2} - 1 = 25;{t^2} = 26;t = \pm \sqrt {26} .$

Произведем обратную замену:

${x^2} + 5x + 5 = \sqrt {26}$  или ${x^2} + 5x + 5 = - \sqrt {26}$.

В первом случае

${x^2} + 5x + 5 - \sqrt {26} = 0;D = {5^2} - 4(5 - \sqrt {26} ) = 25 - 20 + 4\sqrt {26} = 5 + 4\sqrt {26} ;x = \displaystyle\frac{{ - 5 \pm \sqrt {5 + 4\sqrt {26} } }}{2}.$

Во втором случае

${x^2} + 5x + 5 + \sqrt {26} ;D = {5^2} - 4(5 + \sqrt {26} ) = 25 - 20 - 4\sqrt {26} = 5 - 4\sqrt {26} < 0.$

В этом случае уравнение корней не имеет.

Тогда сумма корней

$\displaystyle\frac{{ - 5 + \sqrt {5 + 4\sqrt {26} } }}{2} + \displaystyle\frac{{ - 5 - \sqrt {5 + 4\sqrt {26} } }}{2} =-5.$