На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A. Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A. Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d. На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины . Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности. Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C, следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
Задача 2.В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Решение:
Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек. Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X. Соединим ее прямыми с остальными точками множества M. По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1. Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X. Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости. Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X. Эта плоскость и является искомой.
Задача 3.Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?
Решение:
ответ: Да.Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, … ,x10 и S. Тогда Следовательно, . Пусть nk = 3k (k = 1, … ,10). Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.
Задача 4.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D — точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
Решение:
Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки). Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1. Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т.е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO. Поэтому . Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 – 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C, следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A.В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны. Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A. Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.
На плоскости даны окружность ω , точка A, лежащая внутри ω , и точка B, отличная от A.
Рассматриваются всевозможные треугольники BXY, такие что точки X и Y лежат на ω и хорда XY проходит через точку A.
Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников BXY, лежат на одной прямой.
Решение:
По теореме о произведении отрезков хорд произведение XA • AY не зависит от положения хорды XY и равно некоторой постоянной величине d.
На продолжении отрезка BA за точку A отложим отрезок AC длины .
Тогда AB • AC = XA • AY = d, следовательно точки X, B, Y и C лежат на одной окружности.
Это означает, что окружности, описанные около треугольников BXY, проходят через фиксированные точки B и C,
следовательно их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку BC.
Задача 2.В пространстве даны n точек общего положения
(никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости, ).
Через каждые три из них проведена плоскость.
Докажите, что какие бы n – 3 точки в пространстве ни взять,
найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих n – 3 точек.
Решение:
Пусть X — произвольное множество из n – 3 точек.
Очевидно, что в нашем множестве M есть точка x, не принадлежащая множеству X.
Соединим ее прямыми с остальными точками множества M.
По условию все эти прямые различны, поэтому их ровно n – 1.
Поскольку в множестве X менее n – 1 точки, одна из проведенных прямых не пересекает X.
Через эту прямую и оставшиеся (n – 2) точки множества M проведём (n – 2) плоскости.
Так как этих плоскостей по-прежнему больше, чем точек во множестве X, одна из них не пересекает X.
Эта плоскость и является искомой.
Задача 3.Существуют ли 10 различных целых чисел таких, что все суммы, составленные из 9 из них — точные квадраты?
Решение:
ответ: Да.Обозначим искомые числа и их сумму соответственно через x1, … ,x10 и S. Тогда
Следовательно, . Пусть nk = 3k (k = 1, … ,10).
Тогда сумма квадратов делится на 9. Ясно, что числа удовлетворяют требованиям задачи.
Задача 4.В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно.
Пусть K — точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D — точка пересечения прямых B1C1 и A1K.
Докажите, что CD = CB1.
Решение:
Заметим, что CA1 = CB1 (как касательные, проведенные к вписанной окружности из одной точки).
Пусть окружность с центром в точке C и радиуса CA1 = CB1 пересекает прямую A1K в точке D1.
Мы должны доказать, что точки D и D1 совпадают, т.е. что точки D1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
Прямая KA1 перпендикулярна A1C1 и, следовательно, параллельна биссектрисе BO.
Поэтому .
Угол C при вершине равнобедренного треугольника A1CD1 равен 180 – 2 • ∠ OBA1 = ∠ A + ∠ C,
следовательно, ∠ B1CD1 = ∠ A.В равнобедренных треугольниках D1CB1 и B1AC1 углы при вершинах равны.
Поэтому равны и углы при основаниях: ∠ D1B1C = ∠ C1B1A.
Это и значит, что точки D1, B1, C1 лежат на одной прямой.