Question

Використовуючи формулу повної ймовірності та формулу Байєса. З урни, що містить 34 білих, 36 зелених і 30 червоних куль, перекладено одну кулю в урну, що містить 21 білих і 23 червоних куль. З другої урни вийняли 2 кулі. 1) Знайти ймовірність того, що вони а) обидва червоні, б) обидва білі, с) різного кольору.
2) Якщо відомо, що з другої урни вийнято червону та білу кулі, переоцінити ймовірності, що в неї було перекладено а) білу кулю, б) червону кулю, с) зелену кулю

Answer 1

Ймовірність того, що вийняті обидва червоні кулі:
Використовуємо формулу повної ймовірності:
P(обидва червоні) = P(перша урна) * P(обидва червоні | перша урна)
+ P(друга урна) * P(обидва червоні | друга урна)
P(перша урна) = кількість куль у першій урні / загальна кількість куль = (34+36+30) / (34+36+30) = 1
P(обидва червоні | перша урна) = кількість червоних куль у першій урні / загальна кількість куль у першій урні = 30 / (34+36+30) = 30 / 100 = 0.3

P(друга урна) = кількість куль у другій урні / загальна кількість куль = (21+23) / (21+23) = 1
P(обидва червоні | друга урна) = кількість червоних куль у другій урні / загальна кількість куль у другій урні = 23 / (21+23) = 23 / 44 ≈ 0.5238

Тепер можемо обчислити:
P(обидва червоні) = 1 * 0.3 + 1 * 0.5238 = 0.3 + 0.5238 ≈ 0.8238

Аналогічно для обидва білі:
P(обидва білі) = P(перша урна) * P(обидва білі | перша урна)
+ P(друга урна) * P(обидва білі | друга урна)

P(обидва білі | перша урна) = кількість білих куль у першій урні / загальна кількість куль у першій урні = 34 / (34+36+30) = 34 / 100 = 0.34
P(обидва білі | друга урна) = кількість білих куль у другій урні / загальна кількість куль у другій урні = 21 / (21+23) = 21 / 44 ≈ 0.4773

P(обидва білі) = 1 * 0.34 + 1 * 0.4773 = 0.34 + 0.4773 ≈ 0.817х