Для доведення рівності Mc + AN = CN + AK використаємо властивості вписаного кола трикутника.
За теоремою про дотичні до кола, точка дотику тангенти до кола є точкою, яка лежить на протилежній стороні трикутника. Таким чином, маємо такі рівності:
AM = BM (1) - точка дотику кола до сторони AB розділяє її на дві рівні частини.
BN = CN (2) - точка дотику кола до сторони BC розділяє її на дві рівні частини.
AK = CK (3) - точка дотику кола до сторони AC розділяє її на дві рівні частини.
Природньо, можемо зазначити, що тривимірна точка M лежить на стороні BC, тобто можемо записати:
BC = BM + MC (4)
Підставимо рівності (1) та (2) у (4):
BC = AM + MC + BN
Згрупуємо подібні доданки:
BC = AM + BN + MC
За рівностіми (2) та (3), замінимо BN на CN та AM на AK:
Нужно убрать одну монету, а оставшиеся разделить на две кучки по три монеты. Взвесить эти две кучки, и если их вес будет одинаков, то ты убрала фальшивую монету. Если 1 больше другой, то мы разбиваем на три кучки ту, что весит больше. Если любые две кучки весят одинаково, то фальшивая третья монета. А если одна весит больше, то та, что весит больше является фальшивой.
Положить три на одну часть весов, три на другую, если равновесие то седьмая подделка. Если нет, то берем ту тройку, то перевесила. Берем из неё любые две монеты, если они равны то третья подделка, иначе подделка та, что перевесила
Мощность каждого из этих двух множеств равна 4, так как в каждом из них ровно 4 элемента:
В пересечение множеств попадают элементы, которые содержатся в каждом из пересекаемых множеств. В данном случае таких нет. Значит пересечение - множество пустое и его мощность равна нулю:
В объединение множеств попадают элементы, которые содержатся хотя бы в одном из объединяемых множеств. Объединение имеет вид: Так как в объединении содержится 8 элементов, то его мощность равна 8:
Симметрическая разность представляет собой множество элементов, которые содержались только в одном из исходных множеств. Так как иных элементов не было (пересечение - пустое множество), то в данном случае симметрическая разность совпадет с объединением и ее мощность равна 8:
Декартово произведение представляет собой множество упорядоченных пар , где , . Мощность декартова произведения равна произведению мощностей перемножаемых множеств. Элементом а может оказаться любой из 4 элементов множества А, аналогично, элементом b может оказаться любой из 4 элементов множества В. Тогда, общее число пар равно 16, следовательно, мощность декартова произведения равна 16.
, где 
, 
. Мощность декартова произведения равна произведению мощностей перемножаемых множеств. 
Для доведення рівності Mc + AN = CN + AK використаємо властивості вписаного кола трикутника.
За теоремою про дотичні до кола, точка дотику тангенти до кола є точкою, яка лежить на протилежній стороні трикутника. Таким чином, маємо такі рівності:
AM = BM (1) - точка дотику кола до сторони AB розділяє її на дві рівні частини.
BN = CN (2) - точка дотику кола до сторони BC розділяє її на дві рівні частини.
AK = CK (3) - точка дотику кола до сторони AC розділяє її на дві рівні частини.
Природньо, можемо зазначити, що тривимірна точка M лежить на стороні BC, тобто можемо записати:
BC = BM + MC (4)
Підставимо рівності (1) та (2) у (4):
BC = AM + MC + BN
Згрупуємо подібні доданки:
BC = AM + BN + MC
За рівностіми (2) та (3), замінимо BN на CN та AM на AK:
BC = AK + CN + MC
А тепер поміняємо порядок доданків:
BC = CN + AK + MC
Враховуючи, що BC = CN + BN, можемо записати:
CN + BN = CN + AK + MC
Скасуємо спільні доданки з обох боків рівності:
BN = AK + MC
Замінимо BN на CN (за рівності (2)):
CN = AK + MC
Остаточно отримали рівність:
Mc + AN = CN + AK
(5 зірок можна?)