Question

Из егэ по профиль 2019в корзине находятся 65 овощей, я и мои друзья, их средняя масса равна 1000г, средняя масса всех овощей, масса которых меньше 1000г равна 982г, а средняя масса всех овощей, масса которых больше 1000г равна 1024г. в корзине есть хотя бы 2 овоща чья масса отличная от 1000га)может ли быть поровну овощей массой меньше 1000г и больше 1000г? б)может ли быть, что 13 овощей весят 1000г,а все остальные больше или меньше? в) какова масса самого лёгкого овоща​

Answer 1

Пусть x овощей имеют массу меньше 1000, y - больше 1000, а z - ровно 1000.

а) Предположим, что да. Тогда справедливо уравнение:

$982x+1024x+1000(65-x-x)=65\times 1000=65000 \Leftrightarrow x=0$, но x очевидно не может быть нулем, т.к. среднее арифметическое больше нуля. Противоречие.

б) Предположим, что это возможно. Тогда x+y+13=65 ⇔ x+y=52. Аналогично строим уравнение: $982x+1024(52-x)+13000=65000 \Leftrightarrow x=\frac{208}{7}$, получили противоречие: x должно быть целым числом.

в) Понятно, что минимальная масса встречается только в группе, где расположены овощи массой меньше 1000 г. Обозначим массу самого легкого за  $\sf m$; Пусть масса оставшихся в этой же группе овощей суммарно равна $\sf S$; Тогда $\sf m+S=982x$; Заметим, что $\sf S\leq 999(x-1)$; Поэтому $\sf 982x-m\leq 999x-999 \Leftrightarrow m\geq 999-17x$(*);

Теперь рассмотрим уравнение $\sf 982x+1024y+1000(65-x-y)=65000 \Leftrightarrow y=\frac{3x}{4}$, значит x кратно 4. Пусть $\sf x=4n,\; n\in \mathbb{N}$;

Рассмотрим другое уравнение: $\sf 4n\times 982+1000z+1024(65-4n-z)=65000$; Отсюда получаем, что $\sf n=\frac{65-z}{7} \Rightarrow z=2,\;9... \Rightarrow n\leq 9 \Rightarrow x\leq 36$;

Возвратимся к (*): $\sf m\geq 999-17x \geq 999-17\times 36=387$; Приведем пример при котором осуществима оценка:

Пусть в первой группе 1 овощ весит 387 граммов, а остальные 35 весят по 999 граммов. Во второй группе 2 овоща весят по 1000 граммов. А в последней группе 27 овощей весят 1024 грамма.

ответ: а) нет

           б) нет

           в) минимально возможная масса - 387 граммов