Question

Пусть x,y,z - произвольные натуральные числа такие, что x+y+z=100 . найти максимальное значение выражения. xy+yz+xz .

Answer 1

$x+y+z=100\\ xy+yz+xz=max$ 
$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2\\ x^2+y^2+z^2+2xz+2xy+2yz=100^2\\$
теперь так как 
$x^2+y^2 \geq 2xy\\ y^2+z^2 \geq 2yz\\ x^2+z^2 \geq 2zx$
подставляя ее в уравнение 
$x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2)+(y^2+z^2)+(x^2+z^2)=100^2\\ 3(x^2+y^2+z^2)=100^2\\ x^2+y^2+z^2=\frac{100^2}{3}$
теперь найдем наше искомую величину  
 $xz+xy+yz=\frac{100^2-\frac{100^2}{3}}{2}\\ xz+xy+yz=3333$ берем только целую  часть так как у нас числа натуральные !